专题43 根式的应用和几何图形结合（解析版）.pdf

专题43根式的应用和几何图形结合

1．如图，在等腰RtVABC中，ÐA=90°，BD平分ÐABC，BE平分ÐDBC，M、N分别为射线

BE、BC上的动点，若BD=8，则CM+MN的最小值为（）

A．4B．6C．8D．10

【答案A

NBEN¢MN=MN¢C,M,N¢¢

【分析】如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即CN，当

CN¢^BFCCF^BDN¢

时最短，过点作，交BD的延长线于点F，即与F点重合时最短，过点D

作DG^BC于点G，根据等面积法求得CF，即可求解．

NBEN¢CCF^BD

【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交BD的延长线于点F，过点

D作DG^BC于点G，

∴MN=MN¢，当C,M,N¢三点共线时CM+MN最小即CN¢，当CN¢^BF时最短，CF即为所求，

∵DG^BC，RtVABC是等腰直角三角形，

∴VDGC是等腰直角三角形，

∴DC=2DG

∵BD平分ÐABC，

∴DA=DG

∵AC=AB，

设AD=a，则AB=AC=1+2a



在Rt△ABD中，BD=8,AD=a,AB=1+2a

222

∵BD=AD+AB

2

∴82=a2+é1+2aù

ëû

解得a2=32-162

∴BC=2AC=2+2a



11

∵S=BC´DG=BD´CF

VBDC

22

BC´DG2+2a´a2+2´32-162

∴CF=

==

BD88

=2+24-22

=42-4+8-42

=4

A

故选．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助

线是解题的关键．

2．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，

326

重叠部分的面积为，空白部分的面积为30﹣，则较小的正方形面积为（）

A．11B．10C．9D．8

【答案B

【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白

部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形

的边长即可求出面积．

【详解∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，

∴重叠部分也为正方形，

∵26

空白部分的面积为30﹣，

∴一个空白长方形面积=30