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专题44 特殊的四边形-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练(原卷版).pdf

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专题44特殊的四边形

一、三角形的中位线

【典例】如图在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,BD=CE,M、N分别是BE、CD的中点.过

MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗?为什么?

【解答】解:AP=AQ.理由如下:

如图,取BC的中点H,连接MH,NH.

1

∵M,H为BE,BC的中点,∴MH∥EC,MH=EC.

2

1

∵N,H为CD,BC的中点,∴NH∥BD,NH=BD.

2

∵BD=CE,∴MH=NH.∴∠HMN=∠HNM;

∵MH∥EC,∴∠HMN=∠PQA,

同理∠HNM=∠QPA.

∴△APQ为等腰三角形,

∴AP=AQ.

【巩固】如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD的中点,

连接EF,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,若∠CEF=45°,FN=5,求线段BC的长.

二、矩形中的折叠

【典例】如图,折叠矩形纸片ABCD,使点B的对应点E落在CD边上,GH为折痕,已知AB=6,BC=

10.当折痕GH最长时,线段BH的长为.

【解答】解:由题知,当E点与D点重合时GH最长,

设BH=x,则CH=10﹣x,HE=BH=x,

222

由勾股定理得,HC+CE=HE,

222

即(10﹣x)+6=x,

解得x=6.8,

故答案为:6.8.

【巩固】如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,

(1)如图1,将△ADE沿AE翻折,使点D的对应点M恰好在BC边的中点,求的值;

(2)如图2,若点E为CD的中点,过点A作AF⊥BE于F,连接DF,求证DF=BC.

三、直角三角形斜边上的中线

【典例】如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于

F,M为EF中点,则AM的最小值为()

A.1B.1.3C.1.2D.1.5

【解答】解:∵AB=3,AC=4,BC=5,

∴∠EAF=90°,

∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,

∴四边形AEPF是矩形,

∴EF,AP互相平分.EF=AP,

∴EF,AP的交点就是M点.

∵当AP的值最小时,AM的值就最小,

∴当AP⊥BC时,AP的值最小,即AM的值最小.

11

∵AP•BC=AB•AC,

22

∴AP•BC=AB•AC.

∵AB=3,AC=4,BC=5,

∴5AP=3×4,

∴AP=2.4,

∴AM=1.2;

故选:C.

【巩固】

如图,∠BAC=∠BDC=90°,四边形ABDE为平行四边形,若AD=6,BC=8,则CE的长

为.

四、菱形中最值问题

1

【典例】如图,边长为

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