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专题44特殊的四边形
一、三角形的中位线
【典例】如图在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,BD=CE,M、N分别是BE、CD的中点.过
MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗?为什么?
【解答】解:AP=AQ.理由如下:
如图,取BC的中点H,连接MH,NH.
1
∵M,H为BE,BC的中点,∴MH∥EC,MH=EC.
2
1
∵N,H为CD,BC的中点,∴NH∥BD,NH=BD.
2
∵BD=CE,∴MH=NH.∴∠HMN=∠HNM;
∵MH∥EC,∴∠HMN=∠PQA,
同理∠HNM=∠QPA.
∴△APQ为等腰三角形,
∴AP=AQ.
【巩固】如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD的中点,
连接EF,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,若∠CEF=45°,FN=5,求线段BC的长.
二、矩形中的折叠
【典例】如图,折叠矩形纸片ABCD,使点B的对应点E落在CD边上,GH为折痕,已知AB=6,BC=
10.当折痕GH最长时,线段BH的长为.
【解答】解:由题知,当E点与D点重合时GH最长,
设BH=x,则CH=10﹣x,HE=BH=x,
222
由勾股定理得,HC+CE=HE,
222
即(10﹣x)+6=x,
解得x=6.8,
故答案为:6.8.
【巩固】如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,
(1)如图1,将△ADE沿AE翻折,使点D的对应点M恰好在BC边的中点,求的值;
(2)如图2,若点E为CD的中点,过点A作AF⊥BE于F,连接DF,求证DF=BC.
三、直角三角形斜边上的中线
【典例】如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于
F,M为EF中点,则AM的最小值为()
A.1B.1.3C.1.2D.1.5
【解答】解:∵AB=3,AC=4,BC=5,
∴∠EAF=90°,
∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,
∴四边形AEPF是矩形,
∴EF,AP互相平分.EF=AP,
∴EF,AP的交点就是M点.
∵当AP的值最小时,AM的值就最小,
∴当AP⊥BC时,AP的值最小,即AM的值最小.
11
∵AP•BC=AB•AC,
22
∴AP•BC=AB•AC.
∵AB=3,AC=4,BC=5,
∴5AP=3×4,
∴AP=2.4,
∴AM=1.2;
故选:C.
【巩固】
如图,∠BAC=∠BDC=90°,四边形ABDE为平行四边形,若AD=6,BC=8,则CE的长
为.
四、菱形中最值问题
1
【典例】如图,边长为
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