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运筹学

本章内容

2OperationsResearch

线性规划是运筹学的一个重要分支，它也是现代科学管理的重

要手段之一，它可以帮助管理者做出科学决策的一个有效的方法，

在许多领域都有成功的应用案例。

如生产计划安排问题，对于在计划期内安排生产多种产品生产，

生产不同单位产品所需所需原材料及设备工时不同，同时不同产

品的单位产品利润也不同，管理者如何安排各种产品的产量，使

得在资源有限的情况下公司获得最大利润？

再如投资问题，如何从不同的投资项目中选出一个投资方案使

得投资的回报为最大？

这些问题都可以利用线性规划方法进行解决。

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运筹学是研究在给定的约束条件下，求所考察的目标函数在某种意义

下的极值问题。

自1947年美国数学家丹捷格（G.B.Dantzig）提出了求解线性规划问

题的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋于成熟，在实际中的

应用日益广泛与深入。特别是在能用计算机来处理成千上万个约束条件

和变量的大规模线性规划问题之后，它的适用领域更加广泛。

从解决技术问题中的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、

军事、经济计划与管理、决策等各个领域均可发挥重要作用；从范围来

看，小到一个小组的日常工作和计划安排，大至整个部门以致国民经济

计划的最优方案的提出，都有用武之地。

它具有适应性强、应用广泛、计算技术比较简单的特点，是现代管理

科学的重要基础和手段之一。

4OperationsResearch

1.1.1线性规划问题的数学模型

在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问题，如何利用线性规

划的方法来进行分析，下面举例来加以说明。

例1.1（生产计划问题）某公司在计划期内安排生产甲、乙两种产品，已知

生产产品甲需原材料B，生产产品乙需原材料A，生产单位产品甲、乙所需原

材料及设备工时和甲、乙两种产品的单位产品利润等数据如表1.1所示；由于

两种产品生产都在一个设备上生产，且设备工时有限，公司管理者如何安排

这两种产品的生产量，使得在资源有限的情况下公司获得最大利润。

表1.1生产单位产品消耗原材料及占用设备工时

甲乙资源限制

原材料A(吨)0315

原材料B(吨)4012

设备(单位设备工时)2214

单位产品利润（万元）23

5OperationsResearch

现在我们需要确定这两种产品的产量，使公司获得最大利润。因此

需要引入变量如下：

设生产产品A和生产产品B的产量用变量x1、x2来表示，则称x1、x2

为决策变量。若用Z表示该公司的利润，则该公司的利润值Z=2x1+3x2

（万元）

因为在计划期内原材料A有15吨可利用，所以在确定产品甲、乙的产

量时，可用不等式表示为：3x215

同理，因在计划期内原材料的限制，有不等式：

B4x112

设备工时的限制，有不等式：2x12x214

此外甲、乙两种产品的产量不可能为负值，因此有对变量的非负约

束：x1,x20

目标函数MaxZ=2x1+3x2

约束条件3x215



4x112





2x12x214



x1,x20

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例1.2(成本问题)某炼油厂每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油12

万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油提炼，已知两处的原

油成分含量见表1.2；又已知从A处采购的原油价格为每吨（包括运费）

200元，B处采购的原油价格为每吨（包括运费）290元,问：该炼油厂该

如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下，使购买成本最小。

表1.2A、B两处的原油成分含量