专题47 一元二次方程-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.pdf

专题47一元二次方程

一、用换元法解一元二次方程

【典例】若实数x，y满足x2﹣2xy+y2+x﹣y﹣6＝0，则x﹣y的值是（）

A．﹣2或3B．2或﹣3C．﹣1或6D．1或﹣6

【解答】解：设x﹣y＝m，则原方程可化为：

2

m+m﹣6＝0，

解得m1＝2，m2＝﹣3，

所以，x﹣y的值2或﹣3．

故选：B．

213

【巩固】已知方程+21=0，如果设21=y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程

．

213

【解答】解：+=0，

21

设21=y，则原方程化为：

1

+3y＝0，

即1+3y2＝0，

故答案为：1+3y2＝0．

二、含绝对值解一元二次方程

【典例】已知方程x2﹣|2x﹣1|﹣4＝0，则满足该方程的所有根之和为（）

A．2―6B．1―6C．0D．1

1

【解答】解：当2x﹣1≥0时，即x≥，原方程化为：x2﹣2x﹣3＝0，

2

∵（x﹣3）（x+1）＝0，

∴x1＝3，x2＝﹣1，

1

∵﹣1＜，

2

∴x2＝﹣1（舍去），

∴x＝3，

1

＜2

当2x﹣1＜0，即x时，原方程化为：x+2x﹣5＝0，

2

2

∴（x+1）＝6，

∴x+1＝±6，

∴x1＝﹣1+6，x2＝﹣1―6，

1

∵﹣1+6＞，

2

∴x1＝﹣1+6（舍去），

∴x＝﹣1―6．

则3+（﹣1―6）＝2―6．

故选：A．

【巩固】已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）

A．0B．﹣2C．2D．8

【解答】解：①当x＞0时，方程化为：x2﹣2x﹣15＝0，

即（x+3）（x﹣5）＝0，

∴x+3＝0，x﹣5＝0，

解得x1＝﹣3（舍去），x2＝5，

2

②当x＜0时，方程化为：x+2x﹣15＝0，

即（x﹣3）（x+5）＝0，

∴x﹣3＝0，x+5＝0，

解得x3＝3（舍去），x4＝﹣5，

③当x＝0时，方程不成立．

∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．

或原方程可化为：（|x|﹣5）（|x|+3）＝0，

即|x|﹣5＝0，|x|+3＝0，

∴|x|＝5，|x|＝﹣3（舍去），

解得x＝5或﹣5，

∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．

故选：A．

三、一元二次方程求值类问题

22

【典例】设α，β是一元二次方程x+3x﹣7＝0的两个根，则α+3α+αβ＝．

2

【解答】解：∵α，β是一元二次方程x+3x﹣7＝0的两个根，