专题18.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.pdfVIP

专题18.1勾股定理及其逆定理【九大题型】

【沪科版】

【题型1勾股定理的运用】1

【题型2直角三角形中的分类讨论思想】5

【题型3勾股定理解勾股树问题】8

【题型4勾股定理解动点问题】10

【题型5勾股定理的验证】14

【题型6直角三角形的判定】19

【题型7勾股数问题】22

【题型8格点图中求角的度数】24

【题型9勾股定理及其逆定理的运用】27

【知识1勾股定理】

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角

边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=．

【题型1勾股定理的运用】

【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则

AC的长为（）

A．5B．4C．3D．2

【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用勾股

定理列式求出BE，然后设AC＝AE＝x，根据勾股定理列式计算即可得解．

【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，

∴DE＝CD＝1.5，

在Rt△DEB中，由勾股定理得：

BE=2−2=5252=2，

2．−1．

∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，

∴Rt△ACD≌Rt△AED，

∴AC＝AE，

设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，

222

由勾股定理得：AB＝AC+CB，

222

即（x+2）＝x+4，

解得x＝3，

∴AC＝3．

故选：C．

【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线

DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）

375

A．B．C．2D．

242

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD＝AD，故AB＝BD+AD＝BD+CD，设CD＝x，则BD＝8﹣

x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可解答．

【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，

∴BC＝6，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴CD＝AD，

∴AB＝BD+AD＝BD+CD＝8，

设CD＝x，则BD＝8﹣x，

222

在Rt△BCD中，CD＝BC+BD，

222

即x＝6+（8﹣x），

解得x＝6.25．

7

∴BD＝8﹣6.25＝1.75=．

4

故选：B．

【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则

CD＝．

【分析】先作AE⊥BC于E，作DF⊥AC于F，然后根据等腰三角形的性质和勾股定