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抛物线必会十大基本题型讲与练
01抛物线的标准方程
典例分析
类型一、待定系数法
第一步，做判断，根据条件判断抛物线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能，（这时需要分类讨论）。
第二步，设方程，根据上述判断，设方程为或。
第三步，找关系，根据已知条件，建立关于的方程,
第四步，解方程，由上一步所得方程组求得出，将解代入所设方程，即得所求。
1．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上且（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若，则抛物线的方程为（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由求出点的坐标，进一步求出直线的方程，令，可求出点的坐标，得出，即可求出抛物线的方程.
【详解】由题意，，不妨设，则，化简为所以，则直线的斜率为：，所以所在直线方程为：，令得．则，所以所以抛物线的方程为．
2．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（???????）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，
当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为；
当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为，
所以所求抛物线的方程为.
3．（多选题）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（???????）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
结合抛物线的定义求得点的坐标，将点坐标代入抛物线方程，求得，由此求得抛物线的方程.
【详解】
因为抛物线C的方程为，所以焦点，设，由抛物线的性质知，得．因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，
代入抛物线方程，得，解得或．所以抛物线C的方程为或．
4．已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是边长为2的正三角形，则抛物线的方程为___________．
【答案】或
【分析】
由题意分情况可得点的坐标为，代入抛物线方程中可求出的值，从而可得抛物线的方程
【详解】抛物线的焦点为，由抛物线的对称性，不妨设点为第一象限的点，
因为点为上一点，点为轴上一点，是边长为2的正三角形，所以当在的右边时，点的坐标为，所以，化简得，
解得或（舍去），所以抛物线的方程为，
当在的左边时，点的坐标为，所以，化简得，
解得或，所以抛物线的方程为，
综上，所求的抛物线方程为或
5．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点；
(2)焦点在直线上.
【答案】(1)抛物线方程或，对应的准线方程分别是，.
(2)抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.
【分析】
（1）设所求的抛物线方程为或，把点代入即可求得，则抛物线方程可得，根据抛物线的性质求得准线方程.
（2）令，代入直线方程分别求得抛物线的焦点，进而分别求得，则抛物线的方程可得.根据抛物线的性质求得准线方程.
【解析】
(1)设所求的抛物线方程为或，因为过点，所以或，所以或.所以所求的抛物线方程为或，对应的准线方程分别是或.
(2)令得，令得，所以抛物线的焦点为或.当焦点为时，，
所以，此时抛物线方程；焦点为时，，所以，此时抛物线方程为.
所以所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.
类型二、定义法
1．已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，进而可求得点的轨迹方程.
【详解】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，故选：B.
2．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（???????）
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
【答案】B
【分析】
分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．
【详解】
如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC
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