高中数学同步教学 利用二分法求方程的近似解.pptx

1.2利用二分法求方程的近似解

1.理解二分法的定义,掌握二分法求方程近似解的过程.2.会用二分法求方程的近似解,体会二分法思想在数学中的应用.

1.二分法的概念对于图像在区间[a,b]上连续不断且满足f(a)·f(b)0的函数y=f(x),每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.【做一做1】已知函数f(x)=x3+x2-2x-2,f(1)·f(2)0,用二分法逐次计算时,若x0是[1,2]的中点,则f(x0)=.?答案:0.625

2.用二分法求方程的近似解的过程过程如图.

在图中:“初始区间”是一个两端函数值反号的区间;“M”的含义:取新区间,一个端点是原区间的中点,另一端是原区间两端点中的一个,新区间两端点的函数值反号;“N”的含义:方程的解满足要求的精度;“P”的含义:选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.在二分法求方程解的步骤中,初始区间的选定,往往需要通过分析函数的性质和试验估计.初始区间可以选得不同,不影响最终计算结果.

【做一做2】用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间[a,b]内,当|a-b|≤ε(ε为精度)时,函数零点的近似值答案:B

题型一题型二题型三题型一二分法的概念及应用【例1】下列选项中函数的图像与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是()

题型一题型二题型三解析:按定义,y=f(x)的图像在[a,b]上是连续的,且f(a)·f(b)0,才能不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,进而利用二分法求出函数f(x)的零点.故结合各图像可得选项B,C,D满足条件,而选项A中,函数图像经过零点时,函数值不变号,因此不能用二分法求解.故选A.答案:A反思判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图像在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.

题型一题型二题型三【变式训练1】求下列函数的零点不宜用二分法的是()A.f(x)=x3-8 B.f(x)=lnx+3C.f(x)=x2+2x+2 D.f(x)=-x2+4x+1解析:因为函数的零点即为方程的根,对于方程x2+2x+2=0,判别式Δ=0,所以函数只有一个零点,且在这个零点两边函数值符号相同,所以函数f(x)=x2+2x+2的零点不宜用二分法求解.答案:C

题型一题型二题型三题型二用二分法求方程的近似解【例2】求方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内的一个近似解,精度为0.1.分析:本题已给出了规定的区间,可根据二分法求近似解的步骤逐次计算缩小区间,直至达到所要求的精度停止计算,确定出方程解的近似值.

题型一题型二题型三解:令f(x)=x3-x-1,因为f(1)=-10,f(1.5)=0.8750,且函数f(x)=x3-x-1的图像是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5]内有零点,用二分法逐步计算,列表如下:至此,我们得到,区间[1.3125,1.375]的区间长度为0.0625,它小于0.1,因此,我们可以选取1.37作为方程x3-x-1=0的一个近似解.

题型一题型二题型三反思求方程的近似解的步骤:(1)构造函数,利用函数图像或单调性确定方程解所在的大致区间,通常限制在区间(n,n+1),n∈Z内;(2)利用二分法求出满足精度的方程的解所在的区间M;(3)写出方程的近似解.

题型一题型二题型三【变式训练2】求方程2x-x2=0在区间(-1,0)内的近似解,精度为0.1.解:令f(x)=2x-x2,因为f(-1)=2-1-(-1)2=-0,f(0)=10,且函数f(x)=2x-x2在(-1,0)内的图像是连续的曲线,所以它在区间[-1,0]内有零点.用二分法逐步计算,列表如下:至此,我们得到区间[-0.8125,-0.75]的区间长度为0.06250.1,因此,我们可以选取-0.8125作为方程2x-x2=0的一个近似解.

题型一题型二题型三题型三易错辨析易错点:对二分法的原理理解不到位而致误【例3】已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,则下列说法中正确的是()

题型一题型二题型三答案:D

题型一题型二题型三【变式训练3】若函数f(x)的图像是连续不断的,且f(0)0,f(1)f(2)f(4)0,则下列结论正确的是()A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间(0,2