高中数学同步教学 余弦定理 第1课时.pptx

第1课时余弦定理及其推论

1.会利用向量的数量积证明余弦定理,体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用.2.会运用余弦定理解决两类解三角形的问题.

1.余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.?2.推论在△ABC中,

【做一做1】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.下列等式中不成立的是().答案:D【做一做2】在△ABC中,若a=2,b=5,c=6,则cosB等于().答案:A

题型一题型二题型三题型一已知两边及夹角,解三角形分析:本题主要考查已知两边及其夹角解三角形的问题,可通过余弦定理先求第三边.在求出第三边后,用余弦定理的变形形式求解即可.

题型一题型二题型三【变式训练1】在△ABC中,a2-c2+b2=ab,则C等于()A.60° B.45°或135°C.120° D.30°答案:A

题型一题型二题型三题型二已知三边,解三角形【例2】在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC.分析:已知三角形三边长,要求最大角和sinC的值,可先由大边对大角,确定出最大的角,再由正弦、余弦定理求出最大角及sinC.

题型一题型二题型三反思已知三角形三边求角可先用余弦定理,再用正弦定理.利用余弦定理求角时,角是唯一确定的,用正弦定理求角时,则需根据三角形的边角关系确定角的取值,要防止产生增解或漏解.

题型一题型二题型三【变式训练2】在△ABC中,A=60°,且最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根,则第三边的长为().A.2 B.3 C.4 D.5解析:由A=60°,不妨设△ABC中最大边和最小边分别为b,c,故b+c=7,bc=11.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc=72-3×11=16,解得a=4.答案:C

题型一题型二题型三题型三运用余弦定理判断三角形的形状即a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2).即c2(a2-b2)=a4-b4=(a2-b2)(a2+b2).∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0.∴a=b或a2+b2=c2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.反思判断三角形的形状时,可利用余弦定理得到边(角)之间的关系,最后判断三角形的形状.

题型一题型二题型三A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案:B

123451在△ABC中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,若b=3,c=5,A=120°,则a等于().解析:∵a2=b2+c2-2bccosA=32+52-2×3×5×cos120°=49,∴a=7.答案:A

12345A.30° B.45°C.60° D.120°答案:C

123453在△ABC中,已知acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析:在△ABC中,∵acosA+bcosB=ccosC,a2b2+a2c2-a4+a2b2+b2c2-b4=a2c2+b2c2-c4,a4+b4-2a2b2-c4=0,(a2-b2)2-c4=0.∴a2-b2+c2=0或a2-b2-c2=0,即a2+c2=b2或a2=b2+c2.故△ABC为直角三角形.答案:B

123454边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和是.?解析:∵578,∴最大角为长为8的边所对的角,最小角为长为5的边所对的角.设长为7的边所对的角为θ,∵0°θ180°,∴θ=60°.∴最大角与最小角之和为180°-60°=120°.答案:120°

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