高中数学同步教学 余弦定理及其应用.pptx

第1课时余弦定理及其应用第一章1.1.2余弦定理

学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测

1自主学习PARTONE

知识点一余弦定理在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,则有余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方等于__________________________________________________________公式表达a2＝,b2＝,c2＝_______________推论cosA＝,cosB＝,cosC＝___________其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍a2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－2bccosA

思考在a2＝b2＋c2－2bccosA中,若A＝90°,公式会变成什么？答案a2＝b2＋c2,即勾股定理.

知识点二余弦定理可以用于两类解三角形问题(1)已知三角形的两边和它们的夹角,求三角形的第三边和其他两个角.(2)已知三角形的三边,求三角形的三个角.

1.在△ABC中,已知两边及夹角时,△ABC不一定唯一.()2.在△ABC中,三边一角随便给出三个,可求其余一个.()3.在△ABC中,若a2＋b2－c2＝0,则角C为直角.()4.在△ABC中,若a2＋b2－c20,则角C为钝角.()思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×

2题型探究PARTTWO

题型一用余弦定理解三角形命题角度1已知两边及其夹角多维探究2解析根据余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC

反思感悟已知三角形两边及其夹角时,应先从余弦定理入手求出第三边.

因为ba,所以BA,所以A为锐角,所以A＝30°.

命题角度2已知三边

反思感悟已知三边求三角,可利用余弦定理的推论先求一个角.

跟踪训练2在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5,判断三角形的形状.解因为a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5,所以可令a＝2k,b＝4k,c＝5k(k0).所以C为钝角,从而三角形为钝角三角形.

题型二余弦定理的证明例3已知钝角△ABC,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,试借助三角函数定义用a,b,C表示边c.

解不妨设A为钝角.如图,作BD⊥CA,交CA延长线于点D.∴BD＝asinC,CD＝acosC.∴AD＝CD－CA＝acosC－b.∴c2＝BD2＋AD2＝a2sin2C＋(acosC－b)2＝a2sin2C＋a2cos2C＋b2－2abcosC＝a2＋b2－2abcosC.

即c2＝a2＋b2－2abcosC.

反思感悟所谓证明,就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿,要勘探地形,证明一个公式,要观察公式两边的结构特征,联系已经学过的知识,看有没有相似的地方.

跟踪训练3用解析几何的两点间距离公式来证明余弦定理.解如图,以A为原点,边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A,即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB,c2＝a2＋b2－2abcosC.

核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN合理探究运算思路典例在△ABC中,已知BC＝7,AC＝8,AB＝9,则AC边上的中线长为.7

解析方法一由条件知设中线长为x,由余弦定理,知所以x＝7.所以AC边上的中线长为7.

方法二设AC中点为M,连接BM(图略).∴BM＝7,即AC边上的中线长为7.

素养评析数学运算素养的一个重要表现就是探究运算思路,探究运算思路最主要的是弄清楚3个问题：①我有什么？②我要什么？③怎样以我有达到我要？在本例中,我有三角形三边长.由此可求三角.我要求中线长,由于M为中点,在△ABM中,我有AB,AM,∠A(两边夹角).由此可求BM,思路贯通.在方法二

3达标检测PARTTHREE

√12345

解析∵abc,∴C为最小角且C为锐角,√12345

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为√12345解析设顶角为C,周长为l,