2025年中考数学压轴题二轮专题复习讲练第6章 坐标系中的角第 5节 相似三角形存在性问题（二）.docx

第5节相似三角形存在性问题(二)

前言：上一篇介绍了关于“单动点”类的相似存在性问题，本节继续讨论关于“双动点”类问题，在两个动点的问题中，两动点之间必存在某种关联，或三角形可能为特殊三角形，比如直角三角形，题型多样，还需具体问题具体分析.

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题型分析

在“双动点”类问题中，必然存在一定特殊性.常见以下两类已知条件：

(1)已知存在相等角：表示边对应成比例；

(2)特殊三角形：比如直角三角形，结合条件具体分析.

引例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)点P为线段BC上一动点(点P不与点B、C重合),过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q,当△PQC与△ABC相似时,求△PQC的面积.

解析:(1)解析式:y=?x2+3x+4;D点坐标为3

(2)由B、C两点坐标易求直线BC解析式:y=-x+4,

由题意得:∠CPQ=∠BCO=∠OBC,

即在△CPQ和△ABC中,∠CPQ=∠ABC.

表示点:设P点坐标为(m,-m+4)(0m4),

则Q点坐标为(m

表示线段：PC=

情况1:当△CPQ∽△ABC时,则CP

代入得：2m5=?

对应P点坐标为12

S

情况2:当△CPQ∽△CBA时,则CP

代入得：2m42=

对应P点坐标为11

S

综上,若△PQC与△ABC相似,△PQC面积为576125或

2直角三角形

(1)转化比例：化斜为直

若已知是直角三角形，则可考虑直角边对应成比例，当所求直角三角形斜边与坐标轴平行时，可对直角边“化斜为直”转化比例.

引例2:如图,已知抛物线y=12x2

(1)求此抛物线的解析式；

(2)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P,使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解析:(1)解析式:y=

(2)思路：已知直角构造直角边成比例，化斜为直

∵A(0,3)、C(-3,0)、B(-4,1),可得△ABC是直角三

角形,∠ACB=90°,且两直角边之比AC

若△APQ与△ABC相似,则APPQ=3或

考虑到AP、PQ均为斜线，并不容易表示，可转化比例：

过点P作PH⊥y轴交y轴于H点,则AP

表示点：设P点坐标为m12m

表示线段：AH=

分类讨论：

情况1：当APPQ=3时，即

由题意得：解得:m=1,

对应的P点坐标为(1,6).

情况2：当APPQ=1

由题意得：解得：m=?133

综上所述,P点坐标为(1,6).

(2)构造三垂直

若所求直角三角形没有一边与坐标轴平行时，可考虑构造三垂直得到直角边之比.

引例3:如图,在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-2,0),C(0,-6),其对称轴为直线x=2.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)点B是该二次函数图像与x轴的另一个交点，点D是直线x=2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图像上的动点，且位于直线x=2右侧.若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似,求点E的坐标.

解析:(1)解析式:y=

(2)考虑到∠BED=90°=∠AOC,故只需再满足有一组锐角相等即可.

情况1:当∠BDE=∠CAO时,即tan∠BDE=tan∠CAO=13,如图，构造三垂直相似：△DNE∽△EMB，相似比为DE

∵ENBM=

解得：m?=4,m?=-6(舍),

∴E点坐标为(4,-6).

情况2:当∠BDE=∠ACO时,即tan∠BDE=tan∠ACO=13,如图,构造三垂直相似:△DNE∽△EMB,相似比DE

∵ENBM=

解得：x3

∴E点坐标为5+

综上所述,E点坐标为(4,-6)或5+

(3)构造特殊角

当直角三角形中含有特殊角时，则可以考虑如何构造特殊角，注意前提必须有一条定方向的边.

引例4：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=?1

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D.

①是否存在点P，使线段PD的长度最大?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②当△PDC与△COA相似时,求点P的坐标.

解析:(1)解析式:y=?