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不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

泛函分析讲义张恭庆答案

【篇一：《泛函分析》课程标准】

英文名称：functionalanalysis课程编号：407012010适用专业：

数学与应用数学学分数：4

一、课程性质

泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数

学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限

选课程。

二、课程理念

1、培育理性精神，提高数学文化素养

基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在

数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。

《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是

数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生

学习的基础，。它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其

他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理

解基础课程的理论将有很大的益处。该课程培养学生的抽象思维能

力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人

才培养的目标要求。

2、良好的学习状态，提高综合解题能力

本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。学生刚刚结束

教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始

准备找工作。《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，

如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问

题，也是学生要面对的一个具体问题。需要师生共同努力去正确面

对才能顺利完成本门课的教学任务。为学习研究生课程和现代数学

打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。

3、内容由浅入深

本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的：

“度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。首先，引入度量

空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠

密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般

的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原

理。然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

范空间以及巴拿赫空间。在赋范空间上定义线性算子及线性泛函，

并讨论相关性质。第三步，在线性赋范空间上定义内积，可以得到

内积空间和希尔伯特空间的定义，在内积空间上引入正交以及投影

的概念，并建立起相应的几何学，还要讨论希尔伯特空间上的算子，

特别是自伴算子、酉算子、正常算子的一些初步性质。最后，介绍

巴拿赫空间中的四个著名定理：hahn-banach泛函延拓定理，一致

有界性定理,逆算子定理和闭图像定理，这些定理充分显示了泛函分

析的威力及其广泛应用。

4、理论联系实际，拓展学生知识面

在教学过程中，主要把握以下几点：将先进的教学思想和教学理念

贯穿到课程的内容和体系；强化数学思想方法、加强学生分析解决

问题能力和数学素养的培养，让学生接受现代的、新的观念，以启

迪学生的创新思维；准确把握课程定位，培养学生掌握扎实的数学

基础知识、严密的逻辑思维能力以及应用数学知识解决实际问题的

能力，同时为学生向科研型理论型人才发展留下充足的空间。课堂

教学提倡启发式，采用各种现代化的教学手段，有些内容举一些数

学分析中的例子使学生容易理解泛函分析的抽象理论等。教师通过

应用信息技术手段，可以使得授课内容信息量大，学生更能深入泛

函分析的内容。

要求学生做到：将书上的基本知识点吃透，注意咬文嚼字；注意抽

象思维能力和逻辑思维能力，要求会做一些理论证明；要求在上课

时认真听讲，完成课上训练和课堂作业．课下能够查阅

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