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《集合的概念与表示》教学设计

教学设计

一、情境引入

在初中数学中，经常按类来研究事物，例如，代数中的自然数、整数、有理数，以及平面几何中的三角形、四边形五边形在现实生活中，也经常需要把事物分类来看，例如，在学校中，按照年级分类，全体高一年级学生是一类人群，全体高二年级学生是另一类人群

同学们能不能举出生活中一些类似的例子？

设计意图：通过创设情境，引导学生思考，激发学生学习的兴趣，为引出集合的概念做好准备.

二、探究新知

1.元素与集合的概念.

一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示.集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示.

问题：（1）世界上最高的五座山能不能构成集合？

（2）世界上的高山能不能构成集合？

2.元素与集合的关系.

问题：如果用A表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学，那么a，b与集合A分别有什么关系？由此看出元素与集合之间有什么关系？

元素与集合的系有两种：.

如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作：；

如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作：.

例如，用A表示“1~20以内所有的质数”组成的集合，则，等等.

3.集合中元素的特征.

确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了.

互异性：一个集合中的任何两个元素都不相同，即集合中的元素没有重复.

无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合中的任何两个元素可以交换位置.

4.常用数集.

自然数集N

正整数集

整数集Z

有理数集Q

实数集R

正实数集

5.集合的表示方法.

问题：（1）如何表示“地球上的四大洋”组成的集合？

（2）如何表示“所有的正奇数”组成的集合？

集合的表示方法常用的有列举法、描述法.

列举法：把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为.

（常适用于元素个数有限并比较少的集合，且全部元素必须一一列举出来，能比较直观地看出该集合的所有元素，但列举起来比较麻烦）

描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特.

（常用于元素个数无限的集合，能有效地看出元素的共同特征，但要准确描述出这些共同特征是它的一大难点）

6.集合的分类.

（1）有限集：含有有限个元素的集合.

（2）无限集：含有无限个元素的集合.

（3）空集：不含任何元素的集合，记作.

请分别举出几个有限集、无限集、空集的例子.

7.区间的概念.

设a，b是两个实数，且，则集合也可以用符号[a,b]表示，其他类似情况如表1、表2，两表中表示集合的符号都称为区间.

表1

定义

符号

数轴表示

这里的实数称为区间的端点，称为闭区间，（a,b）称为开区间，称为半开半闭区间.在数轴上表示区间时，用实心点表示属于区间的端点，用空心点表示不属于区间的端点.

表2

定义

符号

数轴表示

这里的符号“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”.

这样，实数集R可以表示为，集合可以表示为，集合可以表示为.

设计意图：通过探究，理解并掌握集合的概念与表示方法，为应用新知解决问题做好准备.

三、应用举例

例1、用列举法表示下列集合：

（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合；

（2）方程的所有实数根组成的集合.

分析：（1）要注意是整数，且不包括3和10；（2）先解出一元二次方程，再一一列举出来.

解：（1）设由大于3且小于10的所有整数组成的集合为A.因为大于3且小于10的所有整数有4,5,6,7,8,9,所以用列举法可以表示为

.

（2）设方程的所有实数根组成的集合为B因为方程有两个不相等的实数根，所以用列举法可以表示为

.

例2、用描述法表示下列集合：

（1）小于10的所有有理数组成的集合A；

（2）所有奇数组成的集合B；

（3）平面a内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C.

分析：（1）要注意是有理数，且不包括10;（2）关键词:奇数;（3）点集，描述对象是点（x,y）.

解：（1）设，则，且使成立.因此，用描述法可以表示为

.

（2）设，则x是一个奇数因此