2025年中考数学二轮专题复习 第4章 圆 压轴题讲练第5节 圆中相似 （含解析）.docx

第5节圆中相似

前言：在圆的综合题中，总是少不了相似的影子，由圆周角定理等可得圆中潜在诸多相等角，而两组角相等即可得相似.了解常见的圆中相似，有助于更快找到解题突破口.

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常见相似

(1)射影定理

如图,AB是直径,CD⊥AB.

结论：AC2=AD?AB;BC2=BD?BA;CD2=AD?BD.

(2)母子型相似

如图,若∠ABD=∠C.

结论:△ABD∽△ACB,AB2=AD·AC.

(3)弧中点相似

点P是AB中点，点C是优弧AB上任意一点.

结论:△PDA∽△PAC;△PDB∽△PBC.

(4)圆幂定理

相交弦定理：PA·PB=PC·PD;

切割线定理：PA2=PB?PC;

割线定理:PA·PB=PC·PD.

注：圆幂定理结论用前需先证明.

引例1:如图,AB为⊙O的直径,AB=4,C为半圆AB的中点，P为AC上一动点，延长BP至点Q，使BP·BQ=AB2.若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为.

解析:由BP·BQ=AB2,∴△BPA∽△BAQ,

∴∠BAQ=∠BPA=90°,即AQ⊥AB,当点P与点C重合时,此时AQ的长即为点Q运动路径长，即AQ=AB=4.

常见问题

直接证明相似的问题并不多，常以线段关系作为问题，与相似相关的问题有：

(1)线段求值；

(2)证明乘积关系，

如证AB2=AC·

(3)乘积求值,如求AB·AC的值;

(4)比例求值,如求4B/L的值;

解题关键在于找到那组恰当的相似，分析问题中线段所在的三角形，寻找可能的相似.

若问题中的线段并无相关相似，考虑转化线段或转化比例.

引例2：如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C,连接AC、BC.将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.

(1)试说明点D在⊙O上;

(2)在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC?AE.求证:BE为⊙O的切线;

(3)在(2)的条件下,分别延长线段AE、CB相交于点F,若BC=2,AC=4,求线段EF的长.

解析:(1)连接OC、OD,则OD=OC=r,∴点D在⊙O上.

(2)∵AD=AC,∴AB2=AD·AE,

∴△ADB∽△ABE,

∴∠ABE=∠ADB=90°,∴BE⊥AB,

∴BE是⊙O的切线.

(3)连接CD,则CD⊥AB,垂足记为H,

∵BD=BC=2,AD=AC=4,且BD2=AD·DE,

∴DE=1,BE=

xx+1=

x

设EF=x,则解得：x=

∴EF的长为5

引例3:如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点F是⊙O上一点,且AC=CF,连接FB、FD,FD交AB于点N.

(1)若AE=1,CD=6,求⊙O的半径;

(2)求证:△BNF为等腰三角形;

(3)连接FC并延长,交BA的延长线于点P,过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M.

求证:ON·OP=OE·OM.

解析:(1)∵CD=6,∴CE=3,设半径为r,连接OC,则OC=r,

由题意可得：32+

解得:r=5,

故圆O的半径为5.

(2)连接BC、AC,∵DA=AC=CF,∴AC∥DF,

∵AB是直径,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,

∴BC⊥DF,又BC平分角ABF,

∴∠BNF=∠BFN,

∴△BNF为等腰三角形.

(3)连接OD,则OD⊥DM,

∴ODE～OMD,∴

∴OD2=OE?OM.

由题意得△BNC≌△BFC,

∴∠BNC=∠BFC,

∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,

又∠BOC=∠FBC,

∴∠OCB=∠FBC,

∴OC∥BF,∴∠PCO=∠PFB,

∴∠ONC=∠OCP,

∴△ONC∽△OCP,

∴

∴OC2=ON?OP,

∴OD2=ON?OP,

∴ON·OP=OE·OM.

真题演练

1.如图,已知AB是⊙O的直径,CB⊥AB,D为圆上一点,且AD∥OC,连接CD、AC、BD,AC与BD交于点M.

(1)求证:CD为⊙O的切线;

(2)若CD=2AD,求

2.如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O、B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.

(1)求证:AC平分∠FAB;

(2)求证:BC2=CE?CP;

(3)当.AB=43且CF

3.已知AD为⊙O的直径,BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A、D两点作BC的垂线，垂足分别为B、C,A