2025年中考数学二轮专题复习 第3章 正方形压轴题讲练第4节 正方形综合 （含解析）.docx

第4节正方形综合

前言：正方形综合题是几何压轴题的一种常见题型，在于正方形本身可以跟全等、相似、对称、旋转、勾股等等知识相结合，考点广、综合性强，需要扎实的知识基础以及恰当的方法选择.

真题演练

1.如图,点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点,连接PA,过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：

①PA=PE;

②

③

④

正确的是.(填写所有正确结论的序号)

2.如图,在正方形ABCD中,点E是边BC的中点,连接AE、DE,分别交BD、AC于点P、Q,过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F,下列结论:

①∠AED+∠EAC+∠EDB=90°;

②AP=FP;

③AE=

④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36;

⑤CE·EF=EQ·DE.

其中正确的结论有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

3.如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AE与BD交于点P,F是CD上一点,连接AF分别交BD,DE于点M,N,且AF⊥DE,连接PN,则以下结论中：

①S

②PN=

③

④△PMN∽△DPE.

正确的是()

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

4.如图,正方形ABCD,点F在边AB上,且AF:FB=1:2,CE⊥DF,垂足为M,且交AD于点E,AC与DF交于点N,延长CB至G,使BG=1

①DE=AF;

②AN=

③∠ADF=∠GMF;

④S△ANF:

上述结论中，所有正确结论的序号是()

A.①②B.①③

C.①②③D.②③④

5.如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AMAB,△CBE由△DAM平移得到.若过点E作EH⊥AC,H为垂足,则有以下结论：

①点M位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;

②无论点M运动到何处，都有DM=

③无论点M运动到何处,∠CHM一定大于135°.

其中正确结论的序号为.

6.如图,正方形ABCD的边长为6,M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G,点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ=60°,连接PQ.

(1)求证:△MEP?△MBQ.

(2)当点Q在线段GC上时,试判断PF+GQ的值是否变化?如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由.

(3)设∠QMB=α,,点B关于QM的对称点为B,若点B落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由.

第4节正方形综合

1.①②③.

解析:(1)过点P分别作PM⊥BA、PN⊥BE,交BA延长线于点M,交BE边于点N,易证△PMA≌△PNE,∴PA=PE.故结论①正确.

(2)过点P作PG⊥BP交AD延长线于点G,易证△PDG是等腰直角三角形,PD=PG,连接GE,易证△PDA≌△PGE,∴∠PGE=∠PDA=135°,∴∠DGE=90°,∴四边形CDGE是矩形，∴CF=DG,∵DG=2

(3)考虑到BF与PD无法直接相减，可转化线段.

∵BE=

∴2

(4)易证△PDA≌△PGE,显然SPEO≠S

综上所述，正确的结论有①②③.

2.B.

解析:∠AED+∠EAC+∠EDB=∠AOD=90°,∴结论①正确；

连接PC,则∠PCF=∠PAB=∠PFC,∴PC=PF,又PC=PA,∴AP=FP,故结论②正确;

设AO=m,则AB=2m,BE=2

连接OE,则SOPE=SOQE=2,∴S

CE·EF=PE·ED,又PE=QE,∴CE·EF=EQ·DE,故结论⑤正确.

综上,选B.

A.

3.解析：易证ABM～FDM,∴SABMSFDM

考虑到tan∠BAE=tan∠DAF=1

过点P作PH⊥AF交AF于点H,由△APD∽△EPB,可得：PA=

AN=255AD=4

∴PN=4

∵PN≠DN,∴∠PDN=∠DPN,∴△PMN与△DPE不相似，故结论④错误.

综上,选A.

4.C.

解析:易证△CDE≌△DAF,∴DE=AF,故结论①正确;易证ANFCND,ANCN=

延长MF与CG延长线交于点Q，

则BQ=2AD,∴CQ=3AD=3CB,又BG=

∴点G是CQ中点,∴MG=

∴∠GCM=