北师大版数学九下期末复习训练专项43 定弦定角（原卷版）.doc

专项43定弦定角

若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。

备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。

原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

请在上方后面的图形中找到圆心。

【方法技巧】

解题技巧：构造隐圆

定弦定角解决问题的步骤：

（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。

（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）

（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置

（4）计算隐形圆的半径

（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来

（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径

【典例1】如图，已知矩形ABCD．

（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；

（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；

（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．

【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）

A．1 B．2 C． D．4﹣3

【变式2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．

【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）

A．6 B．9 C．6 D．9

【变式3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）

A． B． C． D．

【典例4】如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为．

【变式4】（2022?肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为．

【典例5】（2020秋?无锡期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为．

1．（2021秋?如皋市期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）

A．1.5 B． C． D．2

2．（2021秋?宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（）

A． B．2 C． D．

3．（2021秋?潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）

A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4

4．（2022?巢湖市二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（）

A．2﹣2 B． C．4 D．2

5．（2021?广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（）

A． B． C． D．

6．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．

7．（2022秋?定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为．

8．（2021?柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为．

9．（2021秋?灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：

下面让我们一起尝试去解决：

（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．

（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同