2025年中考数学二轮专题复习第一章几何最值专题讲练 第4节构造辅助圆（含解析）.docx

构造辅助圆

前言：最值必有动点，探寻最值可以分析点应在的位置，比如将军饮马、胡不归等，也可以追寻动点轨迹，直线与圆便是最常见的两种，但题目很少会直接告诉我们轨迹是什么，所以结合条件，分析动点轨迹是最值问题中一大难点.本讲探究常见的轨迹是圆的情形，即构造辅助圆求最值.

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1圆中最值

(1)点-圆

若点P是圆O外一点.

在圆O上确定一点Q使得PQ最大?

分析:PQ=PO+OQ=PO+OMPM在圆O上确定一点Q使得PQ最小?

分析:PQ+QO=POPM+OM,∴PQPM.

引例1：如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B,且OA=OB,∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值为.

解析:连接OP,根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点,可得OP是AB的一半,若AB最小,则OP最小即可.连接OC,与圆C交点即为所求点P,此时OP最小,∵OC=5,圆半径r=3,∴OP=2,∴AB的最小值为4.

(2)线-圆

如图，分别在圆O和直线l上取点M、N使得MN最大?

分析：过点O作直线l的垂线，与圆O(点O上方)、直线l的交点即为M、N，此时MN最大.

如图，分别在圆O和直线l上取点M、N使得MN最小?

分析：过点O作直线l的垂线，与圆O(点O下方)、直线l的交点即为M、N，此时MN最小.

引例2：如图，已知直线y=34x?3

解析：过点C作AB的垂线，垂足记为H点，与圆C左上方交点即为点P,∵OA=4,OB=3,∴AB=5,又圆C半径为1,∴BC=4,CH=45CB=165

(3)圆-圆

分别在圆A和圆B上取点M、N，使得MN最大?

分析:MN=MA+AB+BN=PA+AB+BQPQ,∴MNPQ.

分别在圆A和圆B上取点M、N，使得MN最小?

分析:AM+MN+NB=ABAP+PQ+BQ,∴MNPQ.

引例3:如图,在坐标系中分别以A(-2,3)、B(3,4)为圆心，以1和2为半径作圆A和圆B，MN分别是圆A和圆B上的动点,P是x轴上的动点,则PM+PN的最小值是

解析：作圆A关于x轴的对称得圆A，连接AB，与圆A、圆B交点分别为M(与点M关于x轴对称)、N，此时有PM+PN=P

∴PM+PN的最小值为74

2定义构造辅助圆

(1)圆的定义：平面内到定点距离等于定值的所有点的集合.

(2)构造辅助圆：若动点满足到定点距离等于定值，则动点轨迹是圆(或圆弧).

引例4:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是.

解析:PF=CF=2,可得P点轨迹是以F点为圆心,FC为半径的圆弧.过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，FH=45FA=165,

3定边对直角

(1)圆周角定理推论；直径所对的圆周角是直角.

(2)定边对直角：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

点P是动点,且∠APB=90°,其中AB是一条定线段,则P点轨迹是以AB为直径的圆或圆弧.

引例5:已知正方形ABCD边长为2,E、F分别是BC、CD上的动点,且满足BE=CF,连接AE、BF,交点为P点,则PC的最小值为.

解析:考虑BE=CF,可得AE⊥BF,即在运动过程中,∠APB=90°,∴P点轨迹是以AB为直径的圆.

连接OC，与圆的交点即为P点，

OC=

∴PC的最小值为5

引例6：如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5,AC=4.D是BC上的一个动点,连接AD,过点C作CE⊥AD于E,连接BE.在点D移动的过程中,BE的最小值为.

解析:点E是动点,∠AEC=90°,且AC是一条定线段,∴E点轨迹是以AC为直径的圆弧.

当B、E、M共线时,BE取到最小值.

连接BC，勾股定理可得BM=32+

4定边对定角

(1)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.

(2)定边对定角：一条定边所对角是定角，则这个角的顶点轨迹是圆弧.

点P是动点,且∠APB=α是定值,其中AB是一条定线段，以AB为底边构造顶角为2α的等腰三角形，顶点记为O，则P点轨迹是以点O为圆心，OA为半径的圆