正交变换与仿射变换.ppt

定理3.4平面上的任何一个仿射变换可分解为一个正交变换与一个沿两个互相垂直方向伸缩的乘积。证明任取一直角坐标系,由(3.1)给出的仿射变换τ把单位圆变为一个椭圆(图5.3),设它的中心为O’,而是两条互相垂直的对称轴(或主轴),记向量将它们单位化第32页,共63页，星期六，2024年，5月我们有仿射坐标系与直角坐标系。又设在τ下,的原象为,即,由于椭圆的两条对称轴是互相共轭的,即每一条对称轴的平行弦中点轨迹沿着另一条的方向,而仿射变换τ保持共轭性不变(参见下一节),因此与也是单位圆上两个互相垂直的半径向量,故为一直角坐标系。利用推论3.1，有第33页,共63页，星期六，2024年，5月正交变换σ:伸缩变换α:因此ασ:故τ=ασ,即τ分解为正交变换σ与伸缩α的乘积。第34页,共63页，星期六，2024年，5月§4二次曲线的度量分类与仿射分类在1872年,德国数学家F.Klein提出了按变换群

给各种几何学科进行分类的思想,对几何学的研究

有很大的影响。对这一思想,我们将作一简单的介

绍。以平面上二次曲线为研究对象,说明它在度量

几何学(欧几里得几何学)与仿射几何学中各是怎样

分类的。第35页,共63页，星期六，2024年，5月1.变换群与几何学科分类由§2和§3中我们知道,平面上所有正交变换的集合构成平面上的一个变换群,称之为平面上的正交群;平面上所有仿射变换的集合也构成平面上的一个变换群,称之为仿射群.如果变换群G中的一个子集H也构成一个变换群,则称H为G的子变换群。由于正交变换也是仿射变换,所以正交群是仿射群的子变换群。另外,平面上绕原点的旋转变换的全体也构成群,称为平面上的旋转群,平面上的刚体运动的全体也构成群,称为平面上的运动群。以上变换群的关系为旋转群运动群正交群仿射群。第36页,共63页，星期六，2024年，5月定义4.1几何图形在正交变换下的不变性质(或几何量)称为图形的度量性质(或正交不变量),研究这些性质的几何学称为度量几何学(即欧几里得几何学);几何图形在仿射变换下的不变性质(或几何量)称为图形的仿射性质(或仿射不变量),研究仿射性质的几何学称为仿射几何学。由于正交群是仿射群的子变换群,所以仿射性质(仿射不变量)也是度量性质(正交不变量)。但是反之,度量性质不一定是仿射性质。仿射性质有共线、平行、相交、中心对称等。度量性质有垂直、轴对称等。仿射不变量有共线三点的简单比,代数曲线的次数等。正交不变量有两点间的距离、两向量的夹角、图形的面积以及二次曲线的等。第37页,共63页，星期六，2024年，5月一般而言,仿射变换可以改变两点之间的距离、两直线间的夹角,因此，关于距离、角度等的性质和不变量就不是仿射性质和仿射不变量。二次曲线直径的共轭性是仿射性质,理由如下:首先在仿射变换τ下,二次曲线C的弦变成二次曲线C’的弦,C的平行弦变成C’的平行弦;C的弦的中点变成C’的弦的中点,所以如果l是C的直径,则τ()=是C的直径。第38页,共63页，星期六，2024年，5月设是C的一对共轭直径(此时假设C是中心曲线),的方向为。由于的方向共轭于的方向,所以有设则有其中,B是仿射变换τ的系数矩阵。第39页,共63页，星期六，2024年，5月于是其中，是τ(C)=C的二次项Φ(x,y)的矩阵,即故是C的一对共轭直径。第40页,共63页，星期六，2024年，5月2.二次曲线的度量分类经过平面上的一个正交变换或仿射变换,平面上的