北师大版数学九上期末复习训练专项08 相似三角形种8字型（2种类型）（原卷版）.doc

专项08相似三角形种8字型（2种类型）

基本模型：

【类型1：8字型】

【典例1】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．

【变式1-1】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（）

A．2米 B．3米 C．米 D．米

【变式1-2】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB＝2，OC＝5，AB＝4，则CD的长为（）

A．7 B．8 C．9 D．10

【变式1-3】如图，DE∥BC，则下列比例式正确的是（）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

【典例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝．（）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9

【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）

A．3：4 B．9：16 C．16：25 D．3：5

【变式2-2】如图，E是?ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，CD＝3CF，则S△ADF：S△BEF等于（）

A．4：1 B．3：1 C．4：3 D．9：4

【典例3】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．

（1）求证：BC＝CD+ED；

（2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．

【变式3-1】如图，在?ABCD中，F是AB边上一点，连接CF并延长交DA的延长线于点E．

（1）求证：△BCF∽△DEC．

（2）若BC＝10，BF＝4，AE＝5，则AB＝．

【变式3-2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB延长线上一点，连接DE交AC于点F，交BC于点G．

（1）求证：；

（2）若DF＝6，FG＝4，求GE的长．

【变式3-3】如图，在?ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．

（1）求证：△DMN∽△BCN；

（2）求BD的长；

（3）若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．

【类型2：反8字型】

【典例4】已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．

（1）求证：；

（2）如果BE2＝BF?BD，求证：DF＝BE．

【变式4-1】如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）

A．EF?BF＝DF?CF B．BE?CD＝BF?CF

C．AE?AB＝AD?AC D．AE?BE＝AD?DC

【变式4-2】如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的长度．

1．如图，已知D，E分别在直线AB，AC上，且DE∥BC，若＝，则的值是（）

A． B． C．2 D．

2．如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，BC：DC＝1：2，S△ACB＝2，则S△DCE等于（）

A．4 B．6 C．8 D．10

3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED＝1：2，BE与AC相交点F，则的值为（）

A． B． C． D．

4．如图，点E是?ABCD的边AD上的一点，且DE：AE＝1：2，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则?ABCD的周长为（）

A．21 B．28 C．34 D．48

5．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E，F分别在CD，AD边上，且△BCE与△BFE关于直线BE对称．点G在AB边上，GC分别与BF，BE交于P，Q两点．若＝，CE＝CQ，则＝（）

A． B． C． D．

6．如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形有对．

7．如图所示，S矩形ABCD＝36，在边AB，AD上分别取点E，F，使得AE＝3EB，DF＝2AF．DE与CF的交点为O，则S△FOD＝．

8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F，若△BEF的面积为1，则正方形ABCD的面积为．

9．如图，AD与BC相交于点O，已知：BC＝1