北师大版数学九上期末复习训练专项11 相似三角形-一线三等角模型综合应用（解析版）.doc

专项11相似三角形-一线三等角模型综合应用

如图，∽（一线三等角）

如图，∽（一线三直角）

如图，特别地，当是中点时：∽∽平分，平分。

一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。

【类型1：标准“K”型图】

【典例1】如图有一块三角尺，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．

【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，

∴AB＝2BC＝12，

∴AC＝，

∵四边形AFED是正方形，

∴∠F＝∠E＝90°，AF＝FE，

∴∠FAC+∠FCA＝90°，

∵∠C＝90°，

∴∠FCA+∠BCE＝90°，

∴∠FAC＝∠BCE，

∴△AFC∽△CEB，

∴，

∴，

设AF＝x，则CE＝，

∴FC＝，

∵AF2+FC2＝AC2，

∴x2+2＝2，

∴x2＝，

答：这个正方形的面积为：．

【变式1-1】如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的边长．

【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△BAE∽△CEF，

∴＝，

∵AB＝BC，

∴，

∴，

∴CE＝4，

∴BC＝CE+BE＝4+2＝6，

∴正方形ABCD的边长为6．

【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．

（1）求证：△ABM∽△MCF；

（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，

∴∠BAM+∠AMB＝90°，

∵ME⊥AM，

∴∠AME＝90°，

∴∠AMB+∠FMC＝90°，

∴∠BAM＝∠FMC，

∴△ABM∽△MCF；

（2）解：∵AB＝4，

∴AB＝BC＝CD＝4，

∵BM＝2，

∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，

由（1）得：△ABM∽△MCF，

∴＝，

∴＝，

∴CF＝1，

∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，

∵BC∥AD，

∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，

∴△DEF∽△CMF，

∴＝，

∴＝，

∴DE＝6，

∴△DEF的面积＝DE?DF＝×6×3＝9，

答：△DEF的面积为9．

【变式1-3】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．

（1）求证：＝；

（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．

【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，

∴∠APD+∠OPC＝90°，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠D＝∠C＝90°，

∴∠POC+∠OPC＝90°，

∴∠APD＝∠POC，

∴△OCP∽△PDA，

∴＝；

（2）解：∵△OCP∽△PDA，

∴，

∵OP与PA的比为1：2，AD＝8，

∴，

∴PC＝4，

设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，

在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，

∴x2＝82+（x﹣4）2，

解得：x＝10，

∴AB＝10．

【类型2：做辅助线构造“K”型图】

【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．

（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝；

（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN；

（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN?MD．

【解答】（1）解：∵∠EFG＝90°，

∴∠AFE+∠DFG＝90°，

∵∠AEF+∠AFE＝90°，

∴∠AEF＝∠DFG，

又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，

∴△AEF≌△DFG（AAS），

∴AE＝FD＝2，

∴FG＝，

∴EG＝FG＝，

故答案为：；

（2）证明：延长EA、NF交于点M，

∵点F为AD的中点，

∴AF＝DF，

∵AM∥CD，

∴∠M＝∠DNF，∠MAD＝∠D，

∴△MAF≌△NDF（AAS），

∴MF＝FN，

∵EF⊥MG，

∴ME＝GE，

∴∠MEF＝∠FEN；

（3）证明：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，

∴∠P＝90°，

同（1）同理得，△AEF≌△PFG（AAS），

∴AF＝PG，PF＝AE，

∵AE＝AD，

∴PF＝AD，

∴AF＝PD，

∴PG＝PD，

∵∠P＝90°，

∴∠PDG＝45°，

∴∠MDG＝45°，

在Rt△EFG中，EF＝FG，

∴∠FGE＝45°，

∴∠FGE＝∠