求数列的通项公式的八种方法(强烈推荐).doc

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怎样由递推关系式求通项公式

一、基本型：

（1）an=pan-1+q（其中pq≠0，p≠1，p、q为常数）型:

——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.

利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x，即a+x=pa+q+xa+x=p(a+)，令x=∴x=时，有a+x=p(a+x)，从而转化为等比数列{a+}求解．

例1.已知数列中,,,求的通项公式.2n-1

练1．已知数列{a}中，a=1，a=a+1，nN，求通项a．a=2－2，n∈N

练2.已知数列中,,,求的通项公式.

二、可化为基本型的数列通项求法：

（一）指数型：an=can-1+f(n)型

1、a1=2,an=4an-1+2n(n≥2),求an.

2、a1=-1,an=2an-1+4·3n-1(n≥2),求an.

3、已知数列中，=，（n≥2），求.∴=

（二）指数（倒数）型

1、a1=1,2an-3an-1=12n-2(n

2、a1=65,an+1=13an+(12)n+1

（三）可取倒数型：将递推数列,

1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{an}的首项，，．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

2、已知数列中,,,求数列的通项公式.

.

3、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．an=2n+1

4、若数列{}中，=1，是数列{}的前项之和，且（n），求数列{}的通项公式是.

三、叠加法：an=an-1+f(n)型：

1.已知数列{an}中,,。求数列的通项公式.

2.（2003年全国）已知数列满足,()，（1）求；（2）证明：.

3.已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式。

4、（2008天津卷文20）（本小题满分12分）已知数列{an}中，，，且．（Ⅰ）设，证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；

5、已知数列中,,求数列的通项公式.

四、累乘法：an=an-1·f(n)型:

1.已知数列中满足a1=1，，求{an}的通项公式.

∴

2.设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年全国15题）.

五、构造关于sn的数列

1、a1=a,an+1=sn+3n,n∈N*,设bn=sn-3n,求b

2、a1=3,an+1=2sn,求an.

六、可取对数型：（an=pan-1

p=1取常用对数或自然对数；

p≠1，取以p为底的对数：logpan=rlogpan-1+1,即an=pa

1、若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.

七、化归型

1、a1=1,2an+1-an=n-2nn+1(n+2)(n≥2),令bn=an-1

2、(06山东22)（本小题满分14分）

3、已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…

证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；

记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.

八、一次函数型(an+1=Aan+Bn+C)型(比较系数)

1、a1=32,2an-an-1=6n-3(n≥2),求an

2、a1=3,an+1=2an-n+1(n≥2),求an.

3、2an+1-an=n(n≥2),a1=1求an.