北师大版数学九下期末复习训练专项22 二次函数解析式的方法归类（4种类型）（解析版）.doc

专项22二次函数解析式的方法归类（4种类型）

类型一：待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）

已知抛物线上任意三点的坐标可求\t/item/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%9B%9B%E7%A7%8D%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F/_blank函数解析式。

（2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用\t/item/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%9B%9B%E7%A7%8D%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F/_blank配方法把一般式化成顶点式。

（3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的\t/item/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%9B%9B%E7%A7%8D%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F/_blank抛物线，即b2-4ac≥0]。

已知抛物线与x轴即y=0有交点A(,0)和B(,0),我们可设y=a（x-)(x-),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

类型二：运用几何图形性质求抛物线解析式

确定解析式的形式，设出解析式的表达式；

代入解析式中，形成关于待定系数的方程或方程组；

解方程或方程组，求出相应的待定系数；

然后回代所设的解析式中即可。

【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax

【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得

a+b+c=0

解得a=?1

所以，所求函数的解析式为y=?x

y=?x

所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），

对称轴为直线x=3．

【变式1-1】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，-3)。求该二次函数的解析式

【答案】解：根据题意，得0=1+b+c

解得b=2

所以所求的二次函数的解析式为y=x2+2x-3

【变式1-2】一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式．

【答案】解：设二次函数的解析式为y=ax2

∵抛物线经过A(0,0)，B(1,9)，C(?1,?1)，

∴c=0a+b+c=9a?b+c=?1，解得

∴y=4

【典例2】已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.

【答案】解：∵抛物线顶点为（1，﹣4），

∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，

把（2，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，

解得a＝1，

所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4

【变式2-1】已知抛物线的顶点为(?2，?4)，且经过点(1，1

【答案】解：∵二次函数的图象的顶点为（﹣2，﹣4），

∴可设函数解析式为：y＝a（x+2）2﹣4，

∵函数图象经过点（1，12

∴a×9﹣4＝12

∴a=1

∴二次函数的表达式为：y=1

【典例3】已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．

【答案】解：由题意可设二次函数的解析式为：y=a(x+1)(x?3)

将C（0，﹣3）代入得：?3=a(0+1)(0?3)

解得a=1

∴y=(x+1)(x-3)=x

∴此二次函数的解析式为：y=x

【变式3-1】已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式

【答案】解：依题意，设函数的解析式为y=a(x+3)(x?1)(a≠0)

将点(0,?3)代入，得?3=?3a

∴a=1

∴所求函数解析式为y=(x+3)(x?1)，即y=

【典例4】如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，与y轴交于点B，对称轴是x=-3，求抛物线的解析式。

【答案】解：∵对称轴是x=?b

∴b=6

又∵抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，

∴(-4)2+6×(-4)+c=-3，解得c=5

∴抛物线的解析式为y=x2+6x+5

【变式4】已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．

【答案】解：由题意得，a?b?1=2?

解得，a=?3b=?6

则抛物线的解析式为y=-3x2-6x-1。

【典例5】（202