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东北育才学校科学高中部2023-2024上学期期中考试

数学学科试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1.设全集是实数集，，都是的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）

A. B.

C. D.

2.关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（）

A.或 B.或

C.或 D.或

3.若，且，则值为（）

A. B. C. D.

4.已知函数，若在R上是减函数，则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

5.若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（）.

A. B.

C. D.

6.设，若恒成立，则的最大值为（）

A.9 B.18 C.20 D.27

7.已知函数，函数是定义在上的奇函数，若的图象与的图象交于四点，则的值为（）

A. B. C. D.

8.函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（）

A.615 B.616 C.1176 D.2058

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.下列函数中，值域为是（）

A.， B.

C.， D.

10.下列命题中，真命题是（）

A.若、且，则、至少有一个大于

B.，

C.“”是“”的必要条件

D.“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件

11.下列说法中正确的是（）

A.存在，使得不等式成立

B.若，则函数的最大值为

C.若，，，则有最小值4

D.函数的最小值为4

12.已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（）

A.为奇函数 B.

C.， D.若的值域为，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知集合，，，则a值为______．

14.若函数的定义域为，则函数的定义域为_____．

15.定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为________．

16.已知正实数满足，则的最大值为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知.

（1）当时，若同时成立，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

18.已知

（1）在上恒成立，求x的范围．

（2）在上恒成立，求a的范围．

19.某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍．

（1）求k值；

（2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；

（3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）．

20.已知关于x的不等式的解集为或（）.

（1）求a，b的值；

（2）当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.

21.已知定义域为的函数满足对任意，都有．

（1）求证：是偶函数；

（2）设时，

①求证：在上减函数；

②求不等式的解集．

22.“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．函数的图象关于点对称，且当时，．

（1）求的值；

（2）设函数．

（i）证明函数的图象关于点对称；

（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．