专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何.pptVIP

例用对称式方程及参数方程表示直线解先找出这直线上的一点(x0,y0,z0).例如，可以取x0=1，代入方程组，得解这个二元一次方程组，得y0=0,z0=-2.即(1,0,-2)是这直线上的一点.下面再找出这直线的方向向量s.由于两平面的交线与这两平面的法线向量n1=(1,1,1)，n2(2,-1,3)都垂直，所以可取因此，所给直线的对称式方程为令得所给直线的参数方程为三、两直线的夹角两条直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.设直线L1和L2的方向向量依次为s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2)，那么L1和L2的夹角则cos=从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：两直线L1、L2互相垂直相当与m1m2+n1n2+p1p2=0；两直线L1、L2互相平行或重合相当于例求直线L1：和L2：的夹角.解直线L1的方向向量为s1=(1,-4,1)；直线L2的方向向量为s2=(2,-2,-1).设直线L1和L2的夹角为，那么coos==所以四、直线与平面的夹角sin=|cos(s,n)|，＝|-(s,n)|，因此，那么设直线的方向向量为s=(m,n,p)，平面的法线向量为n=(A,B,C)，直线与平面的夹角为按两向量夹角余弦的坐标表示式，有当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角垂直时，规定直线与平面的夹角为称为直线与平面的夹角(见图)，当直线与平面sin(1)直线与平面垂直相当于(2)直线与平面平行或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp=0.(3)例求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程.解因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法线向量(2,-3,1)作为所求直线的方向向量.由此可得所求直线的方程为五、杂例例1求与两平面x-4y=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线的方程.解因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取因此所求直线的方程为例2求直线与平面2x+y+z-6=0的交点.解所给直线的参数方程为x=2t,y=3t,z=4+2t,代入平面方程中，得2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.解上列方程，得t=-1.把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为x=1,y=2,z=2.例3求过点(2,1,3)且与直线的方程.垂直相交的直线解先作一平面过点(2,1,3)且垂直与已知直线，那么这平面的方程应为3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0.(1)再求已知直线与这平面的交点.已知直线的参数方程为x=-1+3t,y=1+2t,z=-t.(2)把(2)代入(1)中，求得t=，从而求得交点为以点(2,1,3)为起点，点为终点的向量是所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为设直线L由方程组有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.我们建立三元一次方程：(3)其中为任意常数.因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例，所以对于任何一个值，方程(3)的系数：不全为零，从而方程(3)表示反之，通过直线L的任何平面(除平面(2)外)都包含在方程(3)所表示的一族平面内.通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(3)就作为通过直线L的平面束的方程(事实上，方程(3)表示缺少平面(2)的平面束).一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(1)和(2)，因而也满足方程(3)，故方程(3)表示通过直线L的平面，且对于于不同的同的平面.值，方程(3)表示通过直线L的不证01证02关于数量积的说明：数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：数量积的坐标表达式设两向量夹角余弦的坐标表示式：由此可知两向量垂直的充要条件为例已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求.解作向量MA及MB，