北师大版数学九下期末复习训练专项32 二次函数与菱形存在性问题（原卷版）.doc

专项32二次函数与菱形存在性问题

菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

2．坐标系中的菱形：

有3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．

3．解题思路：

（1）思路1：先等腰，再菱形

在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确

定第3个点，再确定第4个点．

（2）思路2：先平行，再菱形

设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD为对角线），再结合一组邻

边相等，得到方程组．

方法总结：

菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。

【典例2】（10分）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）交于点B，如图所示．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）若点D在平面内，点C在直线AB上，平面内是否存在点D使得以O，B，C，D为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理

【变式2-1】（2020秋?西林县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若M为该抛物线上的一动点，在（2）的条件下，求|PM﹣AM|的最大值．

【变式2-2】（2021?柳南区校级模拟）综合与探究：

如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式2-3】（2021?通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；

（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

1.（2022春?兴宁区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；

（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

2．（2021秋?九龙坡区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；

（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．

3.（2021秋?讷河市期中）综合与探究：如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．

①当△ANC面积最大时的P点坐标为；最大面积为．

②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．

（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．

（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物