2025年中考数学二轮专题复习第2章 对称与旋转压轴题讲练 第1节 对称的性质 （含解析）.docx

第2章对称与旋转

第1节对称的性质

前言：对称与旋转是几何中常见问题，本节讨论关于对称的基本性质.主要有有以下三点：(1)对应角相等；(2)对应边相等；(3)对称点连线被对称轴垂直且平分.如何选取恰当的性质帮助解题，不仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题.

知识导航

1对应角相等

(1)由对称得对应角相等，常常用在求角度的问题中.

引例1:如图,在△ABC中,点D是BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着AD翻折得到△AED,则∠CDE=°.

解析:∵∠BAD=∠ABC=40°,∴∠ADC=80°,∠ADB=100°,∴∠ADE=100°,∴∠CDE=20°.

(2)作特殊的对称会存在特殊角，有特殊角便是有特殊图形，利用特殊图形解决问题.

引例2:如图,在矩形ABCD中,AD=3,M是CD上的一点,将△ADM沿直线AM对折得到△ANM,若AN平分∠MAB,则折痕AM的长为()

A.3B.23C.32D.6

解析:由题意可得:∠DAM=∠MAN=NAB=30°,

∵AD=3,∴DM=3

引例3:如图,在矩形ABCD中,AD=2.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A,折痕为DE.若将∠B沿EA向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B,则AB=.

解析:由题意可得:∠AED=∠DEA=∠AEB=60°,∴AC=AB=1,∴AB=DC=3,∴AB=3

2对应边相等

涉及到求线段长度的问题，记得考虑：对应边相等.

引例4:如图,把三角形纸片折叠,使点A、点C都与点B重合,折痕分别为EF、DG,得到∠BDE=60°,∠BED=90°,若DE=2,则FG的长为.

解析:F、G分别是AB、BC中点,∴FG是AC边的中位线,∴FG=12AC.∵DE=2,∴AE=BE=23,CD=BD=4,

∴FG=

引例5:如图,把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠(点E、H在AD边上,点F、G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D点,若∠FPG=90°,△AEP的面积为4,△DPH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于.

解析:两端往中间折叠,则可得:AP=DP,∵∠FPG=90°,∴∠APD=90°,∴△AEP∽△DPH,

考虑两三角形面积分别是4和1，所以相似比为2：1，设AB=a,则.AP=

表示△DPH面积:12?a2?a=1,解得a=2,

对称点连线相关

对称点连线被对称轴垂直且平分，连接对称点连线可得垂直，由垂直，或可得直角三角形，或可得三垂直全等或相似，或可用三角函数，可求线段长.

引例6:如图,将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E.若BE=2,则AP的长为

解析:由对称可得AP⊥BD,则△ABE∽△DAB,设AB=x,由题意得：BEAB=ABDA,代入得：2x=xDA,∴DA=22x2,

引例7:如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连结BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC,DC与AB交于点E,连结AC,若AD=AC=2,BD=3,则点D到BC的距离为()

A.332B.3217

解析:连接CC,则CC⊥BD,垂足记为F,

由DA=DC=DC,可得∠ACC=90°,

∵A

点D到BC的距离等于点D到BC的距离，

考虑用等积法.过点D作DH⊥BC交BC于H点，则BD·CF=BC·DH,代入解得:DH=3

真题演练

1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=36°,AD是斜边BC上的中线,将△ACD沿AD对折,使点C落在点F处,线段DF与AB相交于点E,则∠BED等于()

A.120°B.108°C.72°D.36°

2.如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处,交BC于点F,若∠ABD=48°,∠CFD=40°,则∠E为()

A.102°B.112°C.122°D.92°

3.如图,直线EF是矩形ABCD的对称轴,点P在CD边上,将△BCP沿BP折叠,点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处,BC=43

A.8B.82C.83D.10

4.如图,对折矩形纸片ABCD使AD与BC