2025年中考数学二轮专题复习第一章几何最值专题讲练 第5节 瓜豆原理（含解析）.docx

第5节瓜豆原理

前言：“瓜豆原理”是近来中考最值中的热点话题之一，“瓜豆”是寓意，由一个动点轨迹探究另一动点轨迹，正所谓：种瓜得瓜，种豆得豆.用数学语言解释即旋转、放缩，本节介绍模型及解题思路.

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1轨迹圆

探究1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点.当点P在圆O上运动时，探究Q点轨迹.

分析：线段AQ可以理解为由AP放缩得来，

则P点轨迹放缩即可得Q点轨迹，

连接AO,取AO中点M,

则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ=

任意时刻,均有△AMQ∽△AOP,

MQ

探究2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP.当点P在圆O上运动时,探究Q点轨迹.

分析：AQ可以理解为由AP绕点A逆时针旋转90°得来，则P点轨迹绕点A逆时针旋转90°即可得Q点轨迹，∴点Q轨迹也是圆.

点Q轨迹圆圆心M满足AM=AO且AM⊥AO,在任意时刻均有△APO≌△AQM.

探究3:如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆O运动时，探究Q点轨迹.

分析:由AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;由APAQ=2

即可确定圆M位置，

任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为2:1.

模型总结

由P点轨迹推Q点轨迹.

通常称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.

瓜豆问题的必要条件：两个定量

(1)主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；

(2)主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP：AQ是定值).

模型结论：

(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:∠PAQ=∠OAM;

(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP

探究动点的旋转与放缩，即动点轨迹的旋转与放缩.

引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ.当点P在圆O上运动时，探究Q点轨迹.

解析:如图,∵AP=AQ,且∠PAQ=60°,可得点Q轨迹圆圆心M满足AM=AO,且∠OAM=60°.

引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ.当点P在圆O上运动时，探究Q点轨迹.

解析：△APQ是等腰直角三角形，即有APAQ=21

2轨迹直线

探究4:如图,P是线段BC上一动点,连接AP,取AP中点Q，当点P在BC上运动时，探究Q点轨迹.

分析：当P点轨迹是线段时，Q点轨迹也是一条线段.

分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，

在运动过程中，∵AP=2AQ,∴ON=

∴Q点到BC的距离是定值，∴Q点轨迹是一条线段，即下图中的线段EF.

探究5:如图,△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90°且AP=AQ,当点P在线段BC上运动时,探究Q点轨迹.

分析：当AP与AQ夹角固定且AP：AQ为定值的话，所以Q点轨迹也是线段.分别确定P在起点和终点时，点Q的位置，即可得Q点轨迹.

模型总结

必要条件：两个定量

(1)主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；

(2)主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP：AQ是定值).

模型结论：

(1)P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ.

(当∠PAQ≤90°时,∠PAQ等于MN与BC夹角)

(2)P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ

(由△ABC∽△AMN,可得AP

所谓“种圆得圆”、“种线得线”，谓之“瓜豆原理”.

引例3:如图,在等边△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是.

解析：根据△DPF是等边三角形，∴可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，

∴F点运动的路径长是8.

3其它图形

所谓“瓜豆原理”，就是主动与从动点的轨迹的旋转放缩，只需主、从动点满足①夹角定角；②比例定值，当主动点轨迹是任意图形时，从动点轨迹必然也是与其相似的图形.

引例4：如图，在反比例函数y=?2x的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数

A.2B.4C.6D.8

解析:∠AOC=90°且AO:OC=1:2,显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC,则△AMO∽△ONC,∴