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老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃

第5章频率响应法

频率响应法是控制理论的重要组成部分，是分析和综合控制系统的一种工程实用方法。它不仅适用于

单变量系统，而且也可以推广至多变量系统。它的特点是：不必求解系统的高阶微分方程，可直接根据频

率特性曲线的形状及其特征量来研究系统的性能。其突出的优点是：物理意义明确，可用实验的方法求出

系统的频率特性和传递函数；而且计算量小，方法形象和直观，因而广为工程界所采用。根据它在系统分

析和综合中的应用，将频率响应法分为两部分：频率响应分析法和频率响应综合法，并分别在第5章和第

6章讨论。在这一章里主要介绍：频率响应法的基本概念和控制系统频率特性曲线的绘制方法，以及它在

系统分析与综合中的应用，重点在于其基本概念和应用。

5.1频率特性

频率响应法起源于通讯学科。它的基本思想是：将控制系统的变量也看作是信号；这些信号通过傅里

叶(Fourier)分析，对于周期信号可展开为傅氏级数，对于非周期信号可进行傅氏变换，它们均可视为由不

同频率成分的正弦信号所合成的；线性定常系统各个变量的运动，就是系统对各个不同频率信号响应叠加

的结果。

频率响应法的优点：第一，这种方法具有鲜明的物理意义。第二，可以用实验方法测出系统的频率特

性，并获得其传递函数以及其它形式的数学模型。第三，它是一种图解法，形象直观、计算量小。

频率响应法也存在一定的局限性：首先它只适用于线性定常系统。其次，频率响应法的筒便和实用性

是以它的工程近似性为代价的。

5.1.1频率特性的基本概念

首先考察图5.1一阶RC电路图图5.1所示的简单系统。该系统为一阶RC电路。该电路的微分方

程为：

（5.1）

系统的传递函数为：

（5.2）

图5.1一阶RC电路图

若外施正弦输入电压，则可得系统的输出响应为：

老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃

式中等号右边的第一项为输出响应的暂态分量，第二项为输出响应的稳态分量。当t趋于无穷大时第一项

的暂态分量将趋于零，故系统的稳态输出响应为：

可以看到：在正弦输入电压作用下系统的稳态输出，是与输入同频率的正弦电压，其幅值为输入幅值

的倍，相角比输入的迟后arctgωT。由稳态输出与输入的幅值比和相位差所构成的函数：

（5.3）

它完全地描述了系统响应的特性。即在正弦输入电压作用下，稳态输出电压的幅值和相角的变化规律。

它们是正弦输入电压频率的函数，故称函数1/(1+jωT)或G(jω)为该系统的频率特性函数(简称频率特

性)。

相应地可绘制系统的频率特性曲线，如图5.2所示。

图5.2一阶RC电路的频率特性曲线

线性定常系统的频率特性对于一般的线性定常单变量系统，系统的传递函数为：

（5.4）

当输入信号为周期函数时如果在输入