2025年高考数学二轮复习 专项训练28 定点、定值问题（原卷版）.docx

2025二轮复习专项训练28

定点、定值问题

[考情分析]解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现．

【练前疑难讲解】

一、定点问题

求解定点问题常用的方法

(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．

(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．

(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．

二、定值问题

求圆锥曲线中定值问题常用的方法

(1)引出变量法：其解题流程为

eq\x(变量)→eq\x(选择适当的量为变量)

↓

eq\x(函数)→eq\x(把要证明为定值的量表示成上述变量的函数)

↓

eq\x(定值)→eq\x(把得到的函数化简，消去变量得到定值)

(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

一、单选题

1．（22-23高三下·河北衡水·阶段练习）已知抛物线过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为（????）

A． B．

C． D．

2．（22-23高二上·山东济宁·期末）已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

3．（22-23高三上·山东东营·期末）已知椭圆与直线交于两点，记直线与轴的交点为，点关于原点对称，若，则（???）

A． B．椭圆过个定点

C．存在实数，使得 D．

4．（2023·江苏·二模）已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（????）

A．周长为定值 B．直线与的斜率乘积为定值

C．线段的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为

三、填空题

5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为.

6．（2023·福建漳州·三模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，为上的两个动点，且直线与斜率之积为（为坐标原点），则椭圆的短轴长为，.

四、解答题

7．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．

(1)求椭圆的方程及离心率；

(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．

8．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．

(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．

【基础保分训练】

一、单选题

1．（22-23高二上·北京丰台·期末）设圆，直线，为上的动点．过点作圆的两条切线，切点为，给出下列四个结论：

①当四边形为正方形时，点的坐标为

②的取值范围为

③当为等边三角形时，点坐标为

④直线恒过定点

其中正确结论的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（????）

A． B． C． D．

3．（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（????）

A．6 B． C．4 D．

4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（????）

①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值.

②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值.

A．①真②真 B．①假②真

C．①真②假 D．①假②假

二、多选题

5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上的两点，为原点，则（????）

A．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为

B．若，则的面积为

C．若直线过点，则的最小值为

D．若，则直线恒过定点

6．（22-23高二下·浙江·开学考试）设为双曲线：上一动点，，为上、下焦点，为原点，则下列结论正确的是（????）

A．若点，则最小值为7

B．若过点的直线交于两点（与均不重合），则