2024年圆锥曲线知识点总结.docx

圆锥曲线的方程与性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两個定點、的距离的和等于常数2（不小于）的點的轨迹叫做椭圆。這两個定點叫做椭圆的焦點，两焦點的距离2c叫椭圆的焦距。若為椭圆上任意一點，则有。

椭圆的原则方程為：（）（焦點在x轴上）或（）（焦點在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；

②在和两個方程中均有的条件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）當時表达焦點在轴上的椭圆；當時表达焦點在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：由原则方程知，，阐明椭圆位于直线，所围成的矩形裏；

②對称性：在曲线方程裏，若以替代方程不变，因此若點在曲线上時，點也在曲线上，因此曲线有关轴對称，同理，以替代方程不变，则曲线有关轴對称。若同步以替代，替代方程也不变，则曲线有关原點對称。

因此，椭圆有关轴、轴和原點對称。這時，坐標轴是椭圆的對称轴，原點是對称中心，椭圆的對称中心叫椭圆的中心；

③顶點：确定曲线在坐標系中的位置，常需规定出曲线与轴、轴的交點坐標。在椭圆的原则方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两個交點。同理令得，即，是椭圆与轴的两個交點。

因此，椭圆与坐標轴的交點有四個，這四個交點叫做椭圆的顶點。

同步，线段、分别叫做椭圆的長轴和短轴，它們的長分别為和，和分别叫做椭圆的長半轴長和短半轴長。

由椭圆的對称性知：椭圆的短轴端點到焦點的距离為；在中，，，，且，即；

④离心率：椭圆的焦距与長轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越靠近，就越靠近，從而就越小，對应的椭圆越扁；反之，越靠近于，就越靠近于，從而越靠近于，這時椭圆越靠近于圆。當且仅當時，，两焦點重叠，图形变為圆，方程為。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两點距离的差的绝對值為非零常数的動點轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝對值，在条件下；時為双曲线的一支；時為双曲线的另一支（含的一支）；②當時，表达两条射线；③當時，不表达任何图形；④两定點叫做双曲线的焦點，叫做焦距。

（2）双曲线的性质

①范围：從原则方程，看出曲线在坐標系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。

②對称性：双曲线有关每個坐標轴和原點都是對称的，這時，坐標轴是双曲线的對称轴，原點是双曲线的對称中心，双曲线的對称中心叫做双曲线的中心。

③顶點：双曲线和對称轴的交點叫做双曲线的顶點。在双曲线的方程裏，對称轴是轴，因此令得，因此双曲线和轴有两個交點，他們是双曲线的顶點。

令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交點。

1）注意：双曲线的顶點只有两個，這是与椭圆不一样的（椭圆有四個顶點），双曲线的顶點分别是实轴的两個端點。

2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的長等于叫做双曲线的实半轴長。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的長等于叫做双曲线的虚半轴長。

④渐近线：注意到開課之初所画的矩形，矩形确定了两条對角线，這两条直线即称為双曲线的渐近线。從图上看，双曲线的各支向外延伸時，与這两条直线逐渐靠近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等長的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；

2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程為：；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几种性质与定义式彼此等价。亦即若題目中出現上述其一，即可推知双曲线為等轴双曲线，同步其他几种亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特性，则等轴双曲线可以设為：，當時交點在轴，當時焦點在轴上。

⑥注意与的区别：三個量中不一样（互换）相似，尚有焦點所在的坐標轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定點F和一条定直线l的距离相等的點的轨迹叫做抛物线(定點F不在定直线l上)。定點F叫做抛物线的焦點，定直线l叫做抛物线的准线。

方程叫做抛物线的原则方程。

注意：它表达的抛物线的焦點在x轴的正半轴上，焦點坐標是F（,0），它的准线方程是；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐標系的位置不一样，方程也不一样，有四种不一样的状况，因此抛物线的原则方程尚有其他几种形式：，，.這四种抛物线的图形、原则方程、焦點坐標以及准线方程如下表：

原则方程

图形

焦點坐標

准线方程

范围

對称性

轴

轴

轴

轴

顶點

离心率

阐明：（1）通径：過抛物线的焦點且垂直于對称轴的弦称為通径；（2）抛物线的几何性质的特點：有一种顶點，一种焦點，一条准线，一条對称轴，無對称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦點到准线的距离。

4.高考数學圆锥曲线部分知识點梳理

方程的曲线：

在平面直角坐標系中，假如某曲线C(看作适合某种条件的點的集合或轨迹)上的點与一种二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲线上的點，那么這個方程叫做曲线的方程；這条曲线叫做方程的曲线。

點与曲线