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《排列数》题型突破

重难点突破

1.排列数的性质

(1);

(2).

性质(1)等号两边是指从个不同的元素中取出个元素的所有不同排列的个数.可分两个步骤完成:第1步,从个元素中选出1个排在一个位置上;第2步,从余下的个元素中选出个元素排在余下的个位置上,得到.

性质(2)等号两边是指从含有元素的个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数.

第一类:个元素中含有,分两步完成.

第1步,将排在某一位置上,有种不同的方法.

第2步,从其余个元素中取出个排在其他个位置,有种方法.根据分步乘法计数原理,有种不同的方法.

第二类:个元素中不含有.从个元素中取出个元素排在个位置上,有种方法.

所以.

或因为,

所以.

2.排列问题的解法

(1)直接法:列出对应的排列数直接计算.

(2)优先法:优先安排特殊元素或特殊位置.

(3)捆绑法:把相邻元素看作一个整体,再与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列.

(4)插空法:对某些元素不相邻的问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面已排好的元素的间隙或两端位置.

(5)先整体后局部:“小集团”排列问题中,先整体后局部.

(6)定序问题“除法”处理:对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列即可.

(7)间接法:先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减去不符合要求的排列数.

典型例题剖析

题型1利用排列数公式进行计算

例1_______.

解析:利用排列数的性质可以使运算简便.

原式.

答案:

总结归纳应用排列数公式时应注意以下几个方面：

(1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.

(2)合理约分.若运算式是分式形式,一般要先约分后计算.

(3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合律,进行数据的组合,可以提高运算的速度和准确性.

(4)根据式子的特点,可以利用排列数的两个性质进行化简、求解、证明.

变式训练1(1)化简求值:

(1);

(2)且.

(2)解不等式:.

答案:(1)原式.

(2)因为,所以

(2)由题意得所以

原不等式可化为,其中,,

化简得,即,

所以,解得或.

因为,所以.

故,

所以原不等式的解集为.

题型2有限制条件的排队问题

例27名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,分别求满足下列情况的不同站法的种数.

(1)老师必须站在中间或两端;

(2)2名女生必须相邻而站;

(3)4名男生互不相邻;

(4)若4名男生身高都不相等,按从左到右、从高到低的顺序站.

解析:(1)用特殊元素、特殊位置分析法;(2)相邻问题采用“捆绑法”;(3)不相邻问题用“插空法”;(4)定序问题“除法”处理.

答案:(1)先考虑老师,有种站法,再考虑其余6人全排列,故不同站法的种数为.

(2)2名女生相邻而站有种站法,视为一个整体并与其余5人全排列,有种排法,所以不同站法的种数为.

(3)先排老师和女生,有种站法,再在老师和女生站位的空(含两端)中插入男生,每空一人,则插入方法有种,所以不同站法的种数为.

(4)在7人全排列的所有站法中,4名男生不考虑身高顺序的站法有种,所以不同站法的种数为.

方法归纳

1.“在”与“不在”的问题

解决“在”与“不在”的问题,常用的方法是特殊位置分析法、特殊元素分析法.若以位置为主,则需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置.若有两个及以上的约束条件,则在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.若以元素为主,则需先满足特殊元素的要求,再处理其他的元素.当直接求解困难时,可考虑用间接法求解,即先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减去不符合要求的排列数.

2.“相邻”““不相邻”问题

(1)利用“捆那法”解决相邻问题

解决相邻问题一般用“捆绑法”.将个不同的元素排成一列,其中个元素排在相邻的位置上,求不同排法种数的方法如下:①先将这个元素“捆绑”在一起,看成一个整体;②把这个整体当成一个元素与其他元素一起排列,有种排法;③“松绑”,即将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,其排列方法有种;④由分步乘法计数原理知,符合条件的排法种数为.

(2)利用“插空法”解决不相邻问题

解决不相邻问题通常用“插空法”.将个不同的元素排成一列,其中(当为奇数时,;当为偶数时,)个元素互不相邻,求不同排法的种数的方法如下:(1)将没有不相邻要求的个元素排成一排,其排列方法有种;(2)将要求两两不相邻的个元素插入个空隙中,相当于从个空隙中选出个分别分配给两两不相邻的个元素,其排列方法有种;(3)根据分步乘法计数原理知,符合条件的排法种数为.

3.“定序”问题

在排列问题中,某些元素在题意中已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其顺序.在具体