2023-2024学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二下学期4月期中检测数学试卷含详解.docx

华中师大一附中2023—2024学年度下学期高二期中检测

数学试卷

时限：120分钟满分：150分命题人：游林张巧巧审题人：钟涛

一?选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．6个班分别从7个风景点中选择一处游览,不同的安排方法有（????）

A． B． C． D．

2．的展开式中,第（????）项的二项式系数与第8项的二项式系数相等.

A．第项 B．第项 C．第项 D．第项

3．已知等差数列,则“”是“”成立的（????）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

4．两个单位向量与满足,则向量与的夹角为（????）

A． B． C． D．

5．在的展开式中,所有的二项式系数之和为32,则所有项的系数和为（????）

A．32 B． C．0 D．1

6．学校决定于3月14日~3月21日举行为期8天的“数学节”活动,现安排A,B,C,D,E五位同学担任本次活动的志愿者.已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者,要求3月14日?3月15日做志愿者的同学每人安排一天,3月16日到3月21日做志愿者的同学每人安排两天,则不同的安排方法一共有（????）

A．792种 B．1440种 C．1800种 D．10800种

7．下列不等式中,所有正确的序号是（????）

①????②????③????④

A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

8．已知函数及其导函数定义域均为,满足,且为奇函数,记,其导函数为,则（????）

A． B．2 C．1 D．0

二?多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9．已知方程,则（????）

A．存在实数,使得该方程对应的图形是圆

B．存在实数,使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线

C．存在实数,使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线

D．存在实数,使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆

10．在复平面内,复数,对应的向量分别为,,则（????）

A．若,则

B．若,则

C．若,则

D．若,则

11．在下列底面为平行四边形的四棱锥中,是四棱锥的顶点或棱的中点（如图）,则平面的有（????）

A． B．

C． D．

三?填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.

12．在的展开式中,含的项的系数是.

13．对于随机事件,记为事件的对立事件,且,则.

14．已知函数,若不等式对恒成立,则实数的取值范围为.

四?解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

15．如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面与底面所成的角为,为的中点．

(1)求证：平面.

(2)若为的内心,求直线与平面所成角的正弦值．

16．ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序,是人工智能技术驱动的自然语言处理工具,它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答,但它的回答可能会受到训练数据信息的影响,不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现,如果输入的问题没有语法错误,它回答正确的概率为,如果出现语法错误,它回答正确的概率为.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为,且每次输入问题,ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT,小张和ChatGPT各自从给定的个问题中随机抽取个作答,已知在这个问题中,小张能正确作答其中的个.

(1)在小张和ChatGPT的这次挑战中,求小张答对的题数的分布列.

(2)给ChatGPT输入一个问题,求该问题能被ChatGPT回答正确的概率.

17．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程.

(2)设,求函数的最小值.

(3)若,求实数的值.

18．如图,已知椭圆和抛物线,的焦点是的上顶点,过的直线交于,两点,连接,并延长之,分别交于,两点,连接,设△OMN,的面积分别为,．

(1)求的值.

(2)求的值.

(3)求的取值范围.

19．已知且,函数.

(1)记为数列的前项和.当时,试比较与2024的大小,并说明理由.

(2)当时,证明：.

(3)当且时,试讨论的零点个数.

1．D

【分析】根据分步乘法即可.

【详解】对于每个班来说有7种选择,则根据分步乘法有种安排方法.

故选：D.

2．B

【分析】根据条件,利用二项式系数的性质,即可求出结果.

【详解】因为第8项的二项式系数为,由组合数的对称性知.

所以第项的二项式系数与第8项的二项式系数相等.

故选：B.

3．A

【分析】根据等差数列等差中项的应用即可判断充分性成立,举反例否定