高中数学同步教学 空间图形的基本关系与公理.pptx

§4空间图形的基本关系与公理

第1课时空间图形的基本关系与公理

1.空间点与直线、点与平面的位置关系

2.空间直线与平面的位置关系

【做一做1】把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A?α,a?α.?(2)α∩β=a,P?α且P?β.?(3)a?α,a∩α=A.?(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O.?答案:(1)C(2)D(3)A(4)B

名师点拨直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线在平面外,即

3.空间图形的公理

知识拓展根据公理1,可以得到以下3个推论,它们都可以作为在空间中确定平面的依据.

【做一做2】下列说法正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.三角形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点解析:本题考查平面的基本知识.A选项,当三点共线时有无数多个平面;B选项,四边形有空间四边形与平面四边形之分;C选项,三角形的三个顶点不共线,根据公理1可知三角形的三个顶点确定一个平面;D选项,若具有D选项中的条件,则α与β重合.故选C.答案:C

【做一做3】如图所示,点A在平面α内,点B也在平面α内,点C在直线AB上.(1)用符号语言表示上述位置关系;(2)判断点C与平面α的关系.分析:由公理2可知AB在平面α内,而点C在直线AB上,所以点C在平面α内.解:(1)A∈α,B∈α,C∈AB.(2)因为A∈α,B∈α,所以AB?α.又因为C∈AB,所以C∈α.

4.空间平面与平面的位置关系(除重合外)

5.空间两条直线的位置关系

【做一做4】已知a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b()A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线解析:若a,b异面,c∥a,则c与b相交或异面,故C正确.答案:C

思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)如果直线a与直线b是异面直线,直线b与直线c也是异面直线,那么直线a与直线c也一定是异面直线.()(2)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面必重合.()(3)平面α与平面β会只有一个公共点.()(4)不共线的四点最多可确定4个平面.()(5)两两相交的三条直线必共面.()×××√×

探究一探究二探究三探究四易错辨析证明:如图所示,已知l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.方法一(同一法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2?α,∴B∈α.同理可证C∈α.又B∈l3,C∈l3,∴l3?α.∴直线l1,l2,l3在同一平面内.探究一公理1的应用【例1】证明:两两相交,且不共点的三条直线在同一平面内.

探究一探究二探究三探究四易错辨析方法二(重合法)∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2?α,∴A∈α.∵A∈l2,l2?β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.

探究一探究二探究三探究四易错辨析反思感悟1.公理1的主要作用有两个:一是作为确定平面的依据,判断若干个点或线能否确定平面,确定几个平面等;二是证明点线共面.2.证明点线共面问题的基本方法主要有以下两种:

探究一探究二探究三探究四易错辨析延伸探究(1)把【例1】中的“不共点”删掉呢?这三条直线是否共面?(2)把【例1】中“三条直线”改为“四条直线”呢?这四条直线是否共面?试证明你的结论.解:(1)不一定共面.①若三条直线两两相交,且过同一个点.这三条直线在同一个平面内相交,如图.这三条直线不共面.如图.

探究一探究二探究三探究四易错辨析②若三条直线两两相交,且不共点,由【例1】可知,这三条直线共面.(2)共面.已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点.求证:a,b,c,d四线共面.证明:①无三线共点情况,如图.设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ?α,即b?α.同理,c?α,所以a,b,c,d共面.

探究一探究二探究三探究四易错辨析②有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K?a,因为K?a,所以K和a确定一个平面,设为β.因为N∈a,a?β,所以N∈β.所以NK?β,即b?β.同理,c?β,d?β.所以a,b,c,d共面.由①②知,a,b,c,d共面.