第09讲 等腰三角形与等边三角形（2大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测）（解析版） .pdf

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第讲等腰三角形与等边三角形（大知识点大典例变式训练随堂检测）

题型一等边对等角

题型二根据等边对等角证明

题型三根据三线合一证明

题型四格点图中画等腰三角形

题型五根据等角对等边证明等腰三角形

题型六根据等角对等边证明边相等

题型七根据等角对等边求边长

题型八直线上与已和两点组成等腰三角形的点

题型九作等腰三角形(尺规作园)

题型十等腰三角形的性质和判定

题型十一等腰三角形的定义

题型十二等边三角形的判定和性质

题型十三含30度角的直角三角形

知识点一：等腰三角形的性质

1、等腰三角形

（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫

做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（2）性质

①两腰相等

②两底角相等（简称等边对等角）

③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）

④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。

证明题目中的写法：

①已知高线：∵ABAC，AD⊥BC，∴BDCD，∠BAD∠CAD

②已知中线：∵ABAC，BDCD，∴AD⊥BC，∠BAD∠CAD

③已知角平分线：∵ABAC，∠BAD∠CAD，∴AD⊥BC，BDCD

（3）等腰三角形的构造

（1）“角平分线+平行线”构造等腰三角形

①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形

第1页共123页.

②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形

（2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形

如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形

（3）“角平分线+中线”构造等腰三角形

如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形

（4）“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示

(5)“平行+等腰”构造等腰三角形

已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线

知识点六：等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）

总结：

第2页共123页.

知识点二：等边三角形的性质与判定

等边三角形

（1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。

（2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°

（3）判定：

①三条边都相等的三角形是做等边三角形

②三个角都相等的三角形是等边三角形

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

（4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。

总结：

1等腰三角形和等边三角形对比

图形等腰三角形等边三角形

两条边都相等三条边都相等

性两个角都相等三个角都相等，且都是60º

底边上的中线、高和顶角的平分线互相每一边上的中线、高和这一边所对的角的

质重合平分线互相重合

对称轴（1条）对称轴（3条）

②等腰三角形和等边三角形的判定

第3页共123页.

图形等腰三角形等边三角形

三条边都相等的三角形是等边三角

从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形

判