北师大版数学九下期末复习训练专项23 二次函数和线段周长面积最大值（原卷版）.doc

专项23二次函数和线段周长面积最大值

考点1：线段、周长最大问题

考点2：面积最大问题

（1）铅锤法

（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；

（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；

（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；

（4）根据C、D坐标求得铅垂高

（5）

（2）面积方法

如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图2，同底三角形的面积比等于高的比．

如图3，同高三角形的面积比等于底的比．

如图1如图2如图3

（3）利用相似性质

利用相似图形，面积比等于相似比的平方。

【考点1线段最大值问题】

【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点C，交x轴于A、B两点，A（﹣2，0），a+b＝，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），ME∥y轴，交直线BC于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段ME的最大值；

【变式1-1】（2022春?丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；

【变式1-2】（2021?柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．

①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？

【典例2】（2022?澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．

（1）求抛物线及直线BC的表达式；

（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．求线段PN的最大值；

【变式2】（2022?广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．

（1）求a，b满足的关系式及c的值；

（2）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．

【考点2周长最大值问题】

【典例3】（2022春?衡阳期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；

【变式3】（2022春?北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A，D两点，其中点D（3，﹣4）．

（1）求抛物线C1的解析式；

（2）点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GH∥y轴交BC于H，交x轴于点N，作GM⊥BC于点M，求△GHM周长的最大值；

【考点3面积最大值问题】

【典例4】（2021秋?龙江县校级期末）综合与探究

如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；

（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是；

（3）点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．

【变式4-1】（2022春?南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标；

【变式4-2】（2022?东方二模）如图，抛物线y＝x