2025年高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第3讲 空间向量与空间角原卷版.docx

第3讲空间向量与空间角（新高考专用）

目录

目录

【真题自测】 2

【考点突破】 5

【考点一】异面直线所成的角 5

【考点二】直线与平面的夹角 7

【考点三】平面与平面的夹角 9

【专题精练】 11

考情分析：

以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等．

真题自测

真题自测

一、解答题

1．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值．

2．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．

(1)证明：；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

3．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

??

(1)证明：；

(2)点在棱上，当二面角为时，求．

4．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；

(2)点F满足，求二面角的正弦值．

5．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

??

(1)证明：平面；

(2)若，，，求二面角的正弦值．

6．（2022·全国·高考真题）在四棱锥中，底面．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

7．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

8．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

考点突破

考点突破

【考点一】异面直线所成的角

核心梳理：

设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，异面直线l与m的夹角为θ.

则(1)θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；

(2)cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1)＋c\o\al(2,1))\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2)＋c\o\al(2,2))).

一、单选题

1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知三棱柱满足，，，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2024·四川南充·一模）如图，在边长为2的正方体中，E为AD的中点，F为的中点，过点、E、B作正方体的截面α，则下列结论中正确的是（????）

A．三棱锥的体积为

B．与所成角的余弦值为

C．

D．二面角的余弦值为

4．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（????）

A．若在线段上，则的最小值为

B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为

C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆

D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为

三、填空题

5．（2024·广东·一模）在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为

6．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知圆台的高为2，上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，，两点分别在圆、圆上，若向量与向量的夹角为60°，则直线与直线所成角的大小为．

规律方法：

用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系．

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．

(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．

【考点二】直线与平面所成的角

核心梳理：

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，

则(1)θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).

一、单选题

1．（2024·河北·模拟预测）已知正方体的棱长为，点N是四边形内一点，且满足，则DN与平面所成角的正切值的最小