2025年中考数学二轮专题复习 第3章 正方形压轴题讲练第3节 当半角遇上三垂直 （含解析）.docx

第3节当半角遇上三垂直

前言：在第2章中的半角模型和三垂直模型都有正方形的身影，把这两个模型结合起来，问题将变得更有趣.

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1模型回顾

(1)三垂直模型

(2)半角模型

引例1:如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且点E、A、B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是.

解析:由题意得△CEA≌△ABF,∴CE=AB=4,∴

当半角遇上三垂直

引例2:如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.

(1)求证:GF=GC;

(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.

解析:(1)连接DF,∵△ADE和△DFE关于DE对称,

∴△DAE≌△DFE,∴DF=DA=DC,在Rt△DFG和Rt△DCG中,

DF=DC

∴△DGF≌△DGC(HL).

∴GF=GC.

2

∵△DAE≌△DFE,∴∠ADE=∠FDE,

∵△FDG≌△CDG,∴∠FDG=∠CDG,

∴∠EDG=

在△DAE和△EQH中,

∠DAE=∠EQH

∴△DAE≌△EQH(AAS),

∴AE=QH,DA=EQ,

又∵AB=DA=EQ,∴AE=BQ,

∴BQ=HQ,∴△BQH是等腰直角三角形,

∴BH=

∴BH=

模型总结

本题巧妙地将半角与三垂直结合在一张图中，条件与结论的巧妙组合，还可以有更多变形.

在引例2的图中，除了正方形条件外，其实还存在另外三个条件与结论：

(1)∠DEH=90°;(2)∠EDH=45°;(3)∠CBH=45°.

其中任意两个组合均可得到第三个，引例2是由(1)、(2)结合得到(3).

变式1:由(1)、(3)→(2)

如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，过点E作EH⊥DE,连接BH,∠CBH=45°,求证:∠EDH=45°.

解析：可以采用构造三垂直思路，但是对于△DAE和△EQH，并没有已知的相等线段，此路不通.

不同的条件下方法会不同，恰当地利用题目的已知条件，是解题的关键.比如∠CBH=45°如何运用?

证明:在AD边上取点F使得AF=AE,连接EF,

∴∠DFE=135°=∠EBH,

由题意可得:∠FDE=∠BEH,DF=EB,

∴△DFE≌△EBH,∴DE=DH,

∴△DEH是等腰直角三角形,∴∠DEH=45°.

变式2:由(2)、(3)→(1)

如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，∠EDH=∠CBH=45°,求证:DE⊥EH.

证明:∵∠EDH=45°,∠EBH=90°+45°=135°,∴∠EDH+∠EBH=180°,∴B、E、D、H四点共圆,连接BD,∴∠DEH=∠DBH=90°,∴DE⊥EH.

引例3:如图,在正方形ABCD中,E是DC边上一点,(与D、C不重合),连接AE,将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE,延长EF交BC于G,连接AG,作GH⊥AG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显然AE是∠DAF的平分线,EA是∠DEF的平分线.仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角平分线)，并说明理由.

解析:(1)AG平分∠BAF;

(2)AG平分∠BGF;

(3)GH平分∠EGM;

(4)CH平分∠DCM.

以下证明：

(1)由题意得:△AFG≌△ABG,∴AG平分∠BAF;

(2)同理,AG平分∠BGF;

(3)过点H作HN⊥BM,易证:△ABG≌△GNH,∴HN=BG,GN=AB,∴BG=CN,∴CN=HN,∴△CNH是等腰直角三角形,∴∠HCN=45°,∴CH平分∠DCN;

(4)∵∠AGH=90°,AG平分∠BGE,∴可证GH平分∠EGM.

真题演练

1.如图,在矩形ABCD中,AD=4,点E在边AD上,连接CE,以CE为边向右上方作正方形CEFG,作FH⊥AD,垂足为H,连接AF.

(1)求证:FH=ED;

(2)当AE为何值时,△AEF的面积最大?

2.如图,线段AB=8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).

(1)求证:△AEP≌△CEP;

(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

(3)求△AEF的周长.

3.如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上