2025年高考数学二轮复习 专项训练20 空间向量与距离、探究性问题（原卷版）.docx

2025二轮复习专项训练20

空间向量与距离、探究性问题

[考情分析]空间向量与距离、探究性问题在高考试题中出现较少，一般以解答题的形式考查，难度在中档以上．

【练前疑难讲解】

一、空间距离

(1)点到直线的距离

直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离d＝eq\r(a2－?a·u?2).

(2)点到平面的距离

平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).

二、探究性问题

空间向量求解探究性问题：

(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论；

(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解、是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．

一、单选题

1．（2024·河北沧州·二模）已知四面体满足，则点到平面的距离为（????）

A． B． C． D．

2．（21-22高二下·江苏徐州·期末）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（????）

A． B．与所成的角可能是

C．是定值 D．当时，点到平面的距离为1

4．（2024·江西鹰潭·二模）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（????）

??

A．

B．若为线段上的一个动点，则的最大值为3

C．点到直线的距离是

D．直线与平面所成角正弦值的最大值为

三、填空题

5．（23-24高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，平面平面ACD，O是AD的中点，若棱长，且，则点D到平面ABC的距离为，点O到平面ABC的距离为.

6．（2024·辽宁·一模）已知空间中的三个点，则点到直线的距离为．

四、解答题

7．（22-23高二下·江苏南京·期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．

??

(1)证明：平面；

(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

8．（22-23高三下·湖南·阶段练习）如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2.

(1)证明：.

(2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.

【基础保分训练】

一、单选题

1．（22-23高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（????）

??

A． B． C． D．

2．（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（????）.

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2024·黑龙江·二模）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（????）

A．两条异面直线和所成的角为

B．直线与平面所成的角等于

C．点到面的距离为

D．四面体的体积是

4．（2024·福建·模拟预测）已知正方体的棱长为2，棱的中点分别为E，F，点G在底面上，且平面平面，则下列说法正确的是（）

A．若存在λ使得，则

B．若，则平面

C．三棱锥体积的最大值为2

D．二面角的余弦值为

5．（2024·河北承德·二模）如图，在正四棱柱中，是棱的中点，为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是（????）

??

A．是平面的一个法向量

B．

C．点到平面的距离为

D．二面角的正弦值为

6．（2024·安徽池州·模拟预测）已知正方体的棱长为1，是侧面内的一个动点，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则（????）

A．平面平面

B．点到平面的距离的最大值为

C．当点在线段上时，异面直线与所成的角为

D．当三棱锥的体积最大时，球的表面积为

三、填空题

7．（2023·广东江门·一模）已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为.

四、解答题

8．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角余弦值；

(3)求点到平面的距离．

9．（2024·天津·二模）如图，