北师大版数学九下期末复习训练专项40 辅助圆定点定长（原卷版）.doc

专项40辅助圆定点定长

模型一：定点定长作圆

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。

模型一：点圆最值

已知平面内一定点D和?O，点E是?O上一动点，设点O与点D之间距离为d，?O半径为r.

位置关系

点D在?O内

点D在?O上

点D在?O外

图示

DE的最大值

d＋r?

2r?

d＋r

此时点E的位置

连接DO并延长交?O于点E

?

DE的最小值

r－d

0

d－r

此时点E的位置

连接OD并延长交?O于点E

点E与点D重合

连接OD交O于点E

【典例分析】

【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则∠BDC＝．

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【变式1】如图，在四边形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，AB＝AC＝AD，请画出满足条件时点C的轨迹．

【典例2】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AC上的任意一点（点E不与点C重合），沿DE翻折△DCE使点C落在点F处，请画出点F的轨迹．

【变式2】如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，将△AEB绕点B顺时针旋转，使AB与边BC重合，得到△MNB，请画出在旋转过程中点M的运动轨迹．

【典例3】如图，在矩形ABCD中，，，E是AB边的中点，F是线面BC边上的动点，将沿EF所在的直线折叠得到，连接，求的最小值。

【变式3-1】（2019?锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是．

【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是，点F到线段BC的最短距离是．

【典例4】（2021秋?邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为（）

A．1 B．2 C． D．

【变式4-1】（2021秋?武江区校级期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为．

【变式4-2】（2021秋?萨尔图区校级期末）如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为．

1．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝度．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC边上一动点，将△ABD沿AD对折，得到△ABD，当点B落在AC边上时，点D停止运动，若AB＝AC，则在点D的运动过程中，点B的运动路径长为．

3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝3，将菱形ABCD绕点B逆时针旋转，得到菱形ABCD，求出当点D在BA的延长线上时，点C运动的路径长．

4．如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＞2，若CE＝2，且点E在矩形ABCD的内部，求∠ABE的取值范围．

5．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）

A．2 B． C．3 D．

6．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为．

7．（2022?鱼峰区模拟）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为．

8．（2022?武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为．

9．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．

（1）如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）

（2）如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；

（3）求点P到AB所在直