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海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐
考研数学二分类模拟230
解答题
1.证明：当x＞0时，有
正确答案：
证明：已知cosx≤1，则
证毕．
注本题完全可以通过求导的方法证明该不等式，上述证明反复应用了积
分的保不等式性(保序性)．
[考点]一元函数微积分
2.求．
正确答案：
海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐
65
解：设，则x=t-1，dx=6tdt．代入得
其中．
注本题最后并没有还原成关于x的函数，否则，原函数的形式过于庞
大，严重影响积分的颜值，读者不妨自己还原．
[考点]不定积分、定积分、反常积分
3.证明：函数f(x)在点x处可微的充分必要条件是，存在x的某个邻域U
00
以及定义在U上且在点x处连续的函数g(x)，使f(x)=f(x)+g(x)(x-x)(x∈
000
U)．
正确答案：
证明：()设f(x)在点x处可导，令
0
则
即g(x)在x=x处连续．
0
()如果g(x)满足条件且在x=x处连续，则
0
因此f(x)在x=x处可导．
0
[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)
海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐
4.讨论的敛散性．
正确答案：
解：将积分分成
1-pp-1-x+
对于积分由于x·(xe)→1(当x→0时)，故当p＞0时
(从而1-p＜1)积分收敛．
对于积分．由于
故对于一切p值，积分收敛．
于是，当p＞0时，积分收敛．
[考点]不定积分、定积分、反常积分
5.设函数f(x)在点x的某邻域U(x)内连续，在U°(x)内可导，且极限
000
存在，证明：f(x)在点x可导，且．
0
正确答案：
证明：f(x)在点x可导
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