非线性系统-讲座-2-3.doc

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3非保守系统

前面研究了两类系统：一类是线性的非保守系统，不存在周期运动；另一类是非线性保守系统，可能有周期运动，但总是有无限多个，振幅完全决定于初始条件。

本章将研究一类新的系统——非线性、非保守的系统。这类系统可能存在周期运动，但周期运动的个数是有限的；系统如果存在周期运动，则周期运动的振幅不再决定于初始条件，而是系统本身。这样的数学模型更能符合真实的物理系统。讨论其中两种基本类型——耗散系统和自振系统。

3.1耗散系统

一．运动方程

在给出耗散系统的概念之前，先给出运动方程的一般表示法：第二类拉格朗日方程。在讨论一般复杂的动力学问题时，用第二类拉格朗日方程表示系统的运动是非常方便的。

用和分别表示系统的广义坐标和广义速度，若已知系统的动能，势能以及作用在系统上的非势的广义力，拉格朗日函数定义为

.（3-1）

并假定是和单值函数，则系统的运动方程可以表示为

.（3-2）

该式称为第二类拉格朗日方程。

若有“线性阻力”或欧姆电阻，则是速度的线性函数，即，因而拉格朗日方程取形式

.（3-3）

第1章所讨论的有阻尼的谐振子就是这种情况，这个力总是阻碍运动的。

二．耗散系统

如果系统存在非保守力，具有阻力的特性，这个力应该永远指向与速度相反的方向。因此，在有阻力的情况中，应该永远满足条件

,（3-4）

并且，无论何时，等号不能恒成立，除非，即系统处于平衡状态。

用乘（3-2）式各项，得能量平衡方程

,（3-5）

其中

.(3-6)

是系统的总能量。显然是阻尼力消耗系统能量的功率。由式（3-4）和式（3-5）知

故系统的总能量在阻尼力作用下随着系统运动而总是在减少。

假设能量不可能趋于，这时就可以断言，能量将随时间趋向于某一常值（定态），而以及将趋于零，亦即，系统趋向于静止状态（平衡状态）。这种系统称之为耗散系统。因此，耗散系统是一种在阻尼力作用下总是趋于静止状态的系统。耗散系统中，唯一的定态是平衡态，系统在任何初始条件下都将趋近这一平衡状态。显然，耗散系统中不可能有周期运动，因为系统的能量总是在减少。例如研究过的存在阻力的、大振幅的普通摆就是一个耗散系统，具有焦点或结点型奇点。

一个耗散系统必须满足条件（3-4）。如果不满足，系统就有可能不是耗散的，这时系统中的能量可能由于“阻力”而增加。我们在第1章中研究的系统有“正阻尼”作用就是这样的一种非耗散系统。下面我们再来研究一个实例。

例3.1系统有与速度平方成正比的“阻力”，即，其中。这种系统就是一个非耗散系统。它可以化成一种最简单方程形式

.（3-7）

仿以前的作法，可得到相平面上的积分曲线方程

.

积分后可得

或

,（3-8）

其中C为积分常数。当C取不同值时，将导致不同的运动结果。

y

分界线

中心

x

图3-1具有与速度平方成正比的“阻力”相图

时，对应于孤立点，，是式（3-8）的中心型奇点；时，得到包围坐标原点且层层相套的闭曲线；时，对应一条抛物线；时，式（3-8）是趋于无穷远的曲线；时，积分曲线不存在。图3-1给出了其相图。

由于系统可能存在周期运动，所以系统不是一个耗散系统，因为耗散条件

并不恒成立，即可能存在阻力与速度方向相同的情况。这种情况下的摩擦阻力既可能耗散系统的能量，也可能给系统提供能量。形如的“阻力”，并不破坏系统的保守性。

此例中，只要让平方阻力始终与