专题7.9 正态分布（重难点题型精讲）（教师版）.docx

专题7.9正态分布（重难点题型精讲）

1．连续型随机变量

随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.

2．正态分布

(1)正态曲线

函数f(x)=，x∈R.其中∈R，0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正

态密度曲线，简称正态曲线.

(2)正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，

当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若XN(,)，则E(X)=，D(X)=.

3．正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；

(3)曲线在x=处达到峰值；

(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；

(5)对任意的0，曲线与x轴围成的面积总为1；

(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分

布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.

4．3原则

(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

P(-X+)0.6827；

P(-2X+2)0.9545；

P(-3X+3)0.9973.

(2)3原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学

中称为3原则.

【题型1正态曲线的特点】

【方法点拨】

根据正态曲线及其性质，结合正态曲线的特点，进行求解即可.

【例1】（2023·高三课时练习）设X~N(μ1,σ1

A．P(Y≥

B．P(X≤

C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)

D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)

【变式1-1】（2022秋·上海黄浦·高三期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~Nμ1,62,Y~

A．D(X)=6 B．μ

C．P(X≤38)P(Y≤38) D．P(X≤34)P(Y≤34)

【变式1-2】（2022春·广东清远·高二期末）已知三个正态密度函数φi(x)=12πσie

A．μ1=μ3μ2

C．μ1=μ3μ2

【变式1-3】（2022春·江苏常州·高二期中）如图是三个正态分布X~N(0,0.64)，Y~N(0,1)，Z~N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（????）.

A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②

【题型2利用正态曲线的对称性求概率】

【方法点拨】

利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型.解题的关键是利用对称轴x=确定所求概率对应的

随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断.

【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ～N2,σ2，若P(2?ξ3)=0.3，则P(ξ1)=

A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.2

【变式2-1】（2022春·湖南张家界·高二期末）已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)σ0，且P(X0)=0.1，则P(2X4)=

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

【变式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知随机变量服从正态分布X~N(2,σ2)，若P(X≤1?2a)+P(X≤1+a)=1，则a=

A．0 B．2 C．?1 D．?2

【变式2-3】（2022春·吉林长春·高二期末）已知随机变量X服从正态分布N6,σ，若PX4+5PX8=1

A．16 B．14 C．13

【题型3利用正态分布的3原则求概率】

【方法点拨】

利用正态分布的3原则求概率一定要灵活把握3原则，将所求概率向P(-X+)，P(-2X

+2)，P(-3X+3)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用好正态曲线的对

称性和正态曲线与x轴之间的面积为1.

【例3】（2022春·河北衡水·高二阶段练习）若X～N7,2.25，则PX≤10=

（参考数据：Pμ?σ≤X≤μ+σ=0.682,Pμ?2σ≤X≤μ+2σ

A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865

【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X~N4，22，则

附：若Y~Nμ，σ2，则P

A．0.0215 B．0.1359 C．0.8186 D．0.9760

【变式3-2】（2022春·河南洛阳·高二阶段练习）某工厂生产的零件的尺寸（单位:cm）服从正态分布N10,0.12.任选一个零件，尺寸在10

附:若X~Nμ,σ2