2025年中考数学二轮专题复习第一章几何最值专题讲练 第3节 阿氏圆问题 （含解析）.docx

第3节阿氏圆问题

前言：阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，圆锥曲线集大成者，创造性地提出了圆的另一种定义方式：平面中到两定点距离之比是定值的所有点的集合叫做圆.由此取名“阿氏圆”，其中PAPB=k

1阿氏圆剖析

(1)定义:如图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1)，则满足条件的所有的点P构成的图形是圆.

(2)证明：角平分线定理与辅助圆

①内角平分线定理:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线，则AB

证：SABDSACD

②外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB

证：S

即AB

③证明:如图,PA:PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MAMB

作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NANB

∵∠MPN=1

∴P点轨迹是以MN中点O为圆心，MN为直径的圆.性质与应用

(1)A、B、M、N、O五点共线且A、B分别在圆内外.

(2)定义得相同比例：PA

应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O，反之，若已知A、B其中一点、k及圆O，可求得另一点.

(3)△OBP∽△OPA,(可证∠OPB=∠OAP得相似)

∴OBOP=

应用：已知圆心、半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置.

2问题设计

(1)已知A、B求圆轨迹.

引例1:如图,在坐标系中,点A(-1,0),点B(3,0),P是平面中一点且PA：PB=3：1，求P点轨迹圆圆心坐标.

解析：由阿氏圆性质1和性质2，可得：

取M(2,0)满足MA:MB=3:1,

取N(5,0)满足NA:NB=3:1,

∴点P轨迹圆圆心坐标为MN中点(72

取点P所在的特殊位置来确定M、N位置，即可得轨迹圆圆心.

(2)已知圆轨迹求点A或B.

引例2:如图,已知在坐标系中,点A(-1,0),P是以点(2,0)为圆心，32

思路1：巧用阿氏圆性质1和性质2.

当P点运动到M点位置时,有MA:MB=3:1,考虑到A(-1,0)、M(2,0),可得MB=1,考虑到A、M、B共线且B点在圆内，可得B点坐标为(3,0).

且可由NA:NM=3:1检验点B的正确性.

思路2：由性质3构造“母子型”相似.

考虑OP2=OA?OB,将OP=32、OA=9

以上两个引例是对阿氏圆性质的运用，我们可以由阿氏圆定义画圆，也能在已知圆的前提下，确定那两个定点其中之一.但这两种问题都不会出现在试卷上，那阿氏圆如何考?如何与最值相联系?

(3)最值问题的设计

引例3:在坐标系中,点A(-1,0),P是以点o?2?/??。为圆心，32为半径的圆,Q(2,2),求PQ+

解析：关键在于处理13PA，考虑到P点轨迹是个圆，且要构造13PA，必然是：平面中存在一点B使得P在圆上任意位置，均满足：PBPA

逆用“阿氏圆”，给出圆和A点位置以及比值k，求另一点B的位置，即可将问题化为求PQ+PB的最小值.

由引例2得满足这样条件的点B坐标是(3，0)，

∴PQ+

∴最小值是5

模型总结

在阿氏圆模型中，有如下量：

(1)两定点A、B;

(2)“PA+k·PB”问题中的“k”;

(3)一个定圆.

解题思路：根据阿氏圆性质在平面中确定一点C，使得PC=k·PB,将问题转化为PA+PC的最值.

关键在于如何确定C点的位置?

思路1：利用P点在B、P、O共线的特殊位置；

思路2：利用阿氏圆模型中存在的相似三角形.

即可确定点C坐标.

(4)比例系数的分析

引例4:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA+PB

解析：点M与A、C共线，且M点必满足：(CP2=CM?CA,代入CP、CA,即可得:22=4·CM,得:CM=1,即可确定M点位置，12PA+PB=PM+PB≥BM=10

思考1：这里为什么是1

答：因为Rc=2,CA=4,Rc/α=12,∴△CMP与△CPA的相似比为12,∴PMPA=1

思考2：如果问题是求PA+kPB最小值，k应为多少?

答：根据R

1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.

2.如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点