2025年高考数学二轮复习 专项训练24 直线与圆（解析版）.docx

2025二轮复习专项训练14

直线与圆

[考情分析]直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点，考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题，试题难度为中档．

【练前疑难讲解】

一、直线的方程

1．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

2．两个距离公式

(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)．

(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).

二、圆的方程

圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.

(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，

半径为r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).

三、直线、圆的位置关系

直线与圆的位置关系的判定

(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr?相交；d＝r?相切；dr?相离．

(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ0?相交；Δ＝0?相切；Δ0?相离．

一、单选题

1．（2024·江苏·一模）设为坐标原点，圆与轴切于点，直线交圆于两点，其中在第二象限，则（????）

A． B． C． D．

2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（????）

A．1 B．2 C．4 D．

3．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

4．（2023·北京门头沟·一模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

5．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（????）

A． B． C． D．

6．（23-24高二上·江苏·阶段练习）在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题

7．（2024·全国·模拟预测）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（????）

A．若点是圆上一点，则的最大值是

B．圆关于直线对称

C．若点是圆上一点，则的最小值是

D．直线与圆相交

8．（2023·山东·模拟预测）已知点为圆：上的动点，点的坐标为，，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列结论正确的有（???）

A．的最大值为2

B．曲线的方程为

C．圆与曲线有两个交点

D．若，分别为圆和曲线上任一点，则的最大值为

9．（2024·湖南衡阳·二模）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（????）

A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点

C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为

10．（2024·全国·一模）在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（）

A．曲线的方程为

B．若直线与曲线相交，则弦最短时

C．当三点不共线时，若点，则射线平分

D．过A作曲线的切线，切点分别为，则直线的方程为

三、填空题

11．（2024·湖北武汉·二模）与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为．

12．（21-22高二上·湖北·期末）曲线所围成的封闭图形的面积为．

13．（23-24高二上·河北保定·期中）已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为.

14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知圆，圆，直线．若直线与圆交于两点，与圆交于两点，分别为的中点，则．

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

C

A

D

C

AB

CD

BCD

ACD

1．D

【分析】先根据圆的弦长公式求出线段的长度，再求出直线的倾斜角，即可求得与的的夹角，进而可得出答案.

【详解】由题意，圆心，

到直线距离为，

所以，

直线的斜率为，则其倾斜角为，

则与的的夹角为，

所以.

故选：D．

??

2．C

【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程