（安徽专用）中考数学三轮冲刺提分04解直角三角形及其应用（2种类型）（解析版）.docVIP

提分冲刺预测04解直角三角形及其应用（2种类型）

【安徽十年真题考点及分值细目表】

解直角三角形及其应用（10年10考，5~10分）

类型1：解单个直角三角形

类型2：解两个直角三角形

命题规律与备考策略

命题规律与备考策略

一、解直角三角形

（1）解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．

（2）解直角三角形要用到的关系

①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；

②三边之间的关系：a2+b2＝c2；

③边角之间的关系：

sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．

（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）

二．解直角三角形的应用

（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．

如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．

（2）解直角三角形的一般过程是：

①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．

②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．

（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．

四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

五．解直角三角形的应用-方向角问题

（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．

（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．

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类型1：解单个直角三角形

1．（2023?贵池区二模）如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝6，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）

A．6 B．3 C．+3 D．9

【分析】作BH⊥CA于H，连接OB，OH，由等边三角形的性质，锐角的正切求出BH的长，由直角三角形的性质求出OH的长，由OB≤BH+OH，即可解决问题．

【解答】解：作BH⊥CA于H，连接OB，OH，

∵△ABC是等边三角形，∠BCH＝60°，

∴CH＝AH＝AC＝×6＝3，

∵tan∠BCH＝，

∴BH＝3×tan60°＝9，

∵∠AOC＝90°，

∴OH＝AC＝3，

∵OB≤BH+OH＝9+3，

∴点B到原点的最大距离是9+3．

故选：D．

【点评】本题考查等边三角形、直角三角形的性质，三角形的三边关系，坐标与图形性质，关键是通过作辅助线得到OB≤BH+OH．

2．（2023?蜀山区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过P作⊙O的切线PD，切点为D，连接AD、BD．

（1）若PA＝AD，求证：DP＝DB；

（2）若tan∠B＝，PA＝6，求PD的长．

【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得∠PDO＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠PDA＝∠BDO，再利用等腰三角形的性质可得∠P＝∠B，即可解答；

（2）在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义可得tan∠B＝＝，再利用（1）的结论∠PDA＝∠B，从而可证△PDA∽△PBD，然后再利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵PD与⊙O相切于点D，

∴∠PDO＝90°，

∴∠PDA+∠ADO＝90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADO+∠BDO＝90°，

∴∠PDA＝∠BDO，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠B，

∴∠PDA＝∠B，

∵PA＝AD，

∴∠P＝∠PDA，

∴∠P＝∠B，

∴DP＝DB；

（2）在Rt△ADB中，tan∠B＝＝，

∵∠PDA＝∠B，∠P＝∠P，

∴△PDA∽△PBD，

∴＝，

∴＝，