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2025二轮复习专项训练27
最值、范围问题
[考情分析]解析几何是数形结合的典范,是高中数学的主要知识模块,最值、范围问题是高考考查的重点知识,在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等,试题难度较大,多次以压轴题出现.
【练前疑难讲解】
一、最值问题
圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法
一是几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;
二是代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
二、范围问题
范围问题的求解策略
解决有关范围问题时,先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等),其方法有:
(1)利用判别式来构造不等式;
(2)利用已知参数的取值范围;
(3)利用隐含的不等关系;
(4)利用已知不等关系构造不等式;
(5)利用函数值域的求法.
一、单选题
1.(22-23高三上·广西桂林·阶段练习)已知双曲线的左,右焦点分别为,点在双曲线的右半支上,点,则的最小值为(????)
A. B.4 C.6 D.
2.(2023·全国·模拟预测)已知直线与椭圆交于两点,是椭圆上异于的一点.若椭圆的离心率的取值范围是,则直线,斜率之积的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
二、多选题
3.(2023·山东烟台·二模)已知双曲线C经过点,且与椭圆有公共的焦点,点M为椭圆的上顶点,点P为C上一动点,则(????)
A.双曲线C的离心率为 B.
C.当P为C与的交点时, D.的最小值为1
4.(24-25高二上·重庆渝中·阶段练习)已知点是左、右焦点为,的椭圆:上的动点,则(????)
A.若,则的面积为
B.使为直角三角形的点有6个
C.的最大值为
D.若,则的最大、最小值分别为和
三、填空题
5.(23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习)过椭圆上一动点分别向圆:和圆:作切线,切点分别为,,则的取值范围为.
6.(22-23高三上·安徽阜阳·期末)已知椭圆C的焦点为为C上一点满足,则C的离心率取值范围是.
四、解答题
7.(2024·天津·高考真题)已知椭圆的离心率为12.左顶点为,下顶点为是线段的中点(O为原点),的面积为.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点.在轴上是否存在点,使得恒成立.若存在,求出点纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
8.(22-23高二下·浙江杭州·期末)设抛物线,过焦点的直线与抛物线交于点,.当直线垂直于轴时,.
??
(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点,直线,分别与抛物线交于点,.
①求证:直线过定点;
②求与面积之和的最小值.
【基础保分训练】
一、单选题
1.(2024·江苏泰州·模拟预测)已知F为椭圆的右焦点,P为C上一点,Q为圆上一点,则的最大值为(????)
A.5 B. C. D.6
2.(21-22高二上·陕西西安·期末)已知是双曲线的左焦点,,是双曲线右支上的动点,则的最小值为(????)
A.9 B.8 C.7 D.6
3.(2023·全国·模拟预测)已知抛物线的焦点为,过点的直线交于两点,为坐标原点,记与的面积分别为和,则的最小值为(????)
A. B. C. D.
二、多选题
4.(23-24高二上·江西·阶段练习)已知椭圆的左焦点为,点是上任意一点,则的值可能是(????)
A. B.3 C.6 D.8
5.(23-24高二上·全国·课后作业)(多选)设抛物线的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率可以是()
A. B.
C.1 D.2
6.(21-22高二·江苏·假期作业)已知双曲线:,下列结论正确的是(???)
A.双曲线的渐近线方程为
B.双曲线的焦点到渐近线的距离为
C.与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线一定没有交点
D.若直线与双曲线没有交点,则的取值范围为
三、填空题
7.(23-24高二上·重庆沙坪坝·期中)若P是椭圆上一动点,,则的最大值为.
8.(2024·全国·模拟预测)已知点是抛物线:上的动点,过点作圆:的切线,切点为,则的最小值为.
9.(2023·浙江·一模)已知,分别是双曲线的左右焦点,且C上存在点P使得,则a的取值范围是.
四、解答题
10.(2022·江苏泰州·模拟预测)已知,是过点的两条互相垂直的直线,且与椭圆相交于A,B两点,与椭圆相交于C,D两点.
(1)求直线的斜率k的取值范围;
(2)若线段,的中点分别为M,N,证明直线经过一个定点,并求出此定点的坐标.
11.(2022·江苏盐城·三模)已知双曲线:过点,渐近线方程为
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