（安徽专用）中考数学三轮冲刺专题03规律探究题（3种类型）（针对第16，17，18，19题）（解析版）.docVIP

专题突破03规律探究题（3种类型）（针对第16，17，18，19题）

【安徽十年真题考点及分值细目表】

类型1：数式规律探究（2022年18题，2020年17题，2019年18题，2018年年18题，2015年13题，2014年16题）

类型2：图形与等式关系的规律探究（2017年19题，2016年18题）

类型3：图形规律探究（2021年18题，2013年18题）

类型1：数式规律探究

1．（2022?安徽）观察以下等式：

第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，

第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，

第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，

第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；

（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．

【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，

第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，

第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，

第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，

第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，

故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；

（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，

证明：左边＝4n2+4n+1，

右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2

＝4n2+4n+1，

∴左边＝右边．

∴等式成立．

【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．

2．（2020?安徽）观察以下等式：

第1个等式：×（1+）＝2﹣，

第2个等式：×（1+）＝2﹣，

第3个等式：×（1+）＝2﹣，

第4个等式：×（1+）＝2﹣．

第5个等式：×（1+）＝2﹣．

…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：×（1+）＝2﹣；

（2）写出你猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣（用含n的等式表示），并证明．

【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；

（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．

【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；

（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．

证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，

∴等式成立．

故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．

【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．

3．（2019?安徽）观察以下等式：

第1个等式：＝+，

第2个等式：＝+，

第3个等式：＝+，

第4个等式：＝+，

第5个等式：＝+，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：；

（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．

【分析】（1）根据已知等式即可得；

（2）根据已知等式得出规律，再利用分式的混合运算法则验证即可．

【解答】解：（1）第6个等式为：，

故答案为：；

（2）

证明：∵右边＝＝左边．

∴等式成立，

故答案为：．

【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用．

4．（2018?安徽）观察以下等式：

第1个等式：++×＝1，

第2个等式：++×＝1，

第3个等式：++×＝1，

第4个等式：++×＝1，

第5个等式：++×＝1，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：；

（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．

【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分子分别是1和n﹣1

【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5

故应填：

（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1

故应填：

证明：＝

∴等式成立

【点评】本题是规律探究题，同时考查分式计算．解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．

5．（2017?安徽）【阅读理解】

我们知道，1+2+3+