高中数学同步教学 二次函数的性质.pptx

4.2二次函数的性质

第1课时二次函数的性质

1.理解二次函数的性质.2.会判断二次函数的单调性.

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像及性质

【做一做1】函数y=x2+2x-2的图像的顶点坐标是()A.(2,-2) B.(1,-2)C.(1,-3) D.(-1,-3)解析:y=x2+2x-2=(x+1)2-3,故所求顶点坐标为(-1,-3).故选D.答案:D

【做一做2】函数y=x2-x+1的值域是()答案:C

【做一做3】求函数y=5x2-4x-1的图像与x轴的交点坐标和对称轴,并判断它在哪个区间上是增加的,在哪个区间上是减少的.

题型一题型二题型三题型一二次函数的单调性【例1】函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增加的,求f(1)的取值范围.解:∵二次函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增加的,∴f(1)=4-m+5=-m+9≥25,∴f(1)≥25.反思利用二次函数的单调区间与对称轴的关系,求m的取值范围是解此题的关键.不要认为f(x)的递增区间是[-2,+∞),实际上它只是递增区间的子区间.

题型一题型二题型三【变式训练1】如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间[0,1]上是增加的,那么f(2)的取值范围是.?解析:由题意知,f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,二次函数f(x)在区间[0,1]上是增加的,由于其图像开口向上,故其对称轴是直线x=与直线x=0重合或位于直线x=0的左侧,于是≤0,解得a≤1,故f(2)=-2a+11≥-2×1+11=9,即f(2)≥9.答案:[9,+∞)

题型一题型二题型三题型二二次函数图像的对称性分析:解答本题可先将f(x)的解析式进行配方,进而确定顶点坐标

题型一题型二题型三

题型一题型二题型三反思二次函数图像的对称轴有三种求法:(3)若二次函数y=f(x)对定义域内所有x都有f(a+x)=f(a-x),则其图像的对称轴为直线x=a(a为常数).

题型一题型二题型三【变式训练2】已知二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x),且f(x)=0有两个实根x1,x2,则x1+x2等于()A.0 B.3 C.6 D.不确定解析:由f(3+x)=f(3-x),得其图像的对称轴为直线x=3.故x1+x2=6.答案:C

题型一题型二题型三题型三二次函数图像对称性的应用【例3】若函数f(x)=x2+bx+c满足f(-2)=f(4).(1)求b的值;(2)比较f(-1)与f(5)的大小.解:(1)由f(-2)=f(4),得4-2b+c=16+4b+c,所以6b=-12,所以b=-2,图像的对称轴为直线x=1.(2)因为二次函数图像开口向上,且|5-1||-1-1|,所以f(5)f(-1).反思比较两个函数值的大小时,可以先比较两点离对称轴的距离的大小,再结合二次函数图像的开口方向,从而得到它们的大小关系,也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上,利用函数的单调性比较它们的大小.

题型一题型二题型三【变式训练3】已知函数y=2x2+ax-1在区间(0,4)上不单调,则实数a的取值范围为.?答案:(-16,0)

123451若函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称,则()A.m=-2 B.m=2C.m=-1 D.m=1答案:A

123452如果二次函数y=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么()A.f(2)f(3)B.f(2)f(3)C.f(2)=f(3)D.f(2)与f(3)的大小关系不能确定根据二次函数图像的对称性可得f(2)=f(3).答案:C

123453若二次函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1]上是减少的,则()A.a-2 B.a≤-2C.a-2 D.a≥-2解析:由题意,得-≥1,解得a≤-2.答案:B

123454若函数y=8x2-(m-1)x+m-7的图像的顶点在x轴上,则m=.?解析:∵顶点在x轴上,即(m-1)2-4×8(m-7)=0.解得m=9或m=25.答案:9或25

123455已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求a的取值范围.解:(1)∵f(x)为二次函数且f(0)=f(2),∴其图像的对称轴方程为x=1.又f(x)的最小值为1,∴可设f(x)=a(x-1)2+1(a0).∵f(0)=3,∴a=2.∴f(x)=2(x-1)2+1,即f(x)=2x2-4x+3.(2)由条件知,当2