第05讲 角平分线的性质（6大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测）（解析版）.pdf

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第讲角平分线的性质（大知识点大典例变式训练随堂检测）

题型一角平分线性质定理及证明

题型二角平分线的性质定理

题型三角平分线的判定定理

题型四角平分线性质的实际应用

题型五作角平分线(尺规作图)

知识点01尺规作角平分线

1）作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要熟练掌握.

2）尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线.

作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.

（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.

（3）画射线OC.射线OC即为所求.

知识点02角平分线的性质

1）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2）证明角平分线的性质（利用三角形全等证明即可）

知识点03角平分线的性质定理应用

1）理解角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

应用角平分线的性质定理所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.

角平分线的性质定理的作用是证明线段相等.

2）一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即：

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（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.

知识点04角平分线的判定定理

1）定理语言表述：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

2）定理的几何表述：

∵PD⊥OA,PE⊥OB，PDPE.∴点P在∠AOB的平分线上.

3）应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.

4）定理的作用：判断点是否在角平分线上。

知识点05三角形的内角平分线

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.

已知如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，则点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

(4)角平分线性质定理的逆定理：

①在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

②定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线

注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.，

(5)关于三角形三条角平分线的定理：

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①三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

②定理的作用：a:用于证明三角形内的线段相等；b:用于实际中的几何作图问题.

(6)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

知识点06常见角平分线的相关辅助线

1）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的

“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

2）过边上的点向角平分线作垂线（角平分线+内垂直）：取被平分角边上一点，向角平分线作垂线，并延长

至与另一个边相交；目的：构造一组关于角平分线对称的全等直角三角形；适用条件：往往题干中已有线

段与角平分线垂直，只需延长垂线段即可。

3）过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形（角平分线+平行线）：①有角平分线时，常过角平分线

上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。

②通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。

4）利用角平分线的性质，在角两边截长补短（角平分线+截线段等）：在角的两边上实施截长或补短；目的：

构造出已角平分线为对称轴的全等三角形。

因为角平分线已经具备了全等三角形的两个条件（角相等和公共边），所以在处理角的平分线的问题

时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等（SAS）或向两边作垂线段（AAS）或延长线段等来构造

全等三角形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

【典型例题一角平分线性质定理及证明】

1．（22-23八年级上·河北邯郸·阶段练习）下列说法正确的是（）

A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心

B．三角形的中线、角平分线、高都是线段

C．