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浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列

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第五讲自相关

高斯-马尔科夫假定五是：

Covariance(εi,εj)=δεiεj=0,i≠j

如果该假定不成立，那么称模型的误差项是序列相关的。由于序列相关主要针对于时间序列数据，因此，下面把i改写为t，样本容量N改写为T。

笔记：

1、如果基于横截面数据的回归模型其误差项是相关的，则称为空间自相关。但是要记住，除非观察顺序具有某种逻辑或者经济上的意义，否则，在横截面数据回归中，观察顺序是可以随意的，因此，也许在某种观测顺序下误差项呈现出一种模式的自相关但在另一种观测顺序下又呈现出另外一种模式的自相关。然而，当我们处理时间序列时，观测服从时间上的一种自然顺序。

2、在经济变量时间序列回归模型中，误差项经常被称之为冲击（Shock）。对经济系统的冲击经常具有持续性，从而这为误差项序列相关提供了现实依据。

一、自相关的后果

在证明高斯-马尔科夫定理时，我们仅仅在证明OLS估计量的方差最小（在所有线性无偏估计量中）时用到了序列无关假定，而在证明线性、无偏性并没有用到该假定，因此违背无自相关性假定并不影响线性、无偏性，只影响方差最小性质。

在证明方差最小时，我们分了两步，其中第一步是计算OLS估计量的方差。对模型：

yt=β0+β1xt+εt

有：

在假定五：δεtεt+j=0,j≠0下，有：

如果假定五不成立，那么正确的方差表达式应该是：

1

1[Σ(xt一x)]

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所以，OLS法下通常的系数估计量方差的表示是错误的。一般来说它小于真实的方差。这

是因为，对于经济数据来说，正的序列相关是最常见的，因此δεε一般为正，而

tt+j

(xt一x)(xt+j一x)一般也是正的。因此，般是

大于0的。

当然，依靠错误的标准误所进行的t检验也是无效的。标准的F检验同样依赖于高斯-马尔科夫假定，因此在序列相关情况下通常的F检验也是无效的。

笔记：

应该注意的是，如果模型设定有误，那么也可能使误差项是序列相关的。例如，如果设定的模型遗漏了变量，而这些被遗漏的变量是自相关的，它们进入了误差项，从而导致误差项也具有自相关性。因此，误差项序列相关同异方差一样，

它也可能是模型设定错误的信号。如果产生自相关性的原因是模型设定有误，那么我们首先应该要作的事情是正确设定模型！

二、发现自相关

（一）图示法

图一：正序列相关

图二：负序列相关

误差项当然我们是观察不到的，但我们可以获得残差。直观来看，我们可以基于残差来判断误差项所具有的性质。如果残差随着观测顺序的变化并不频繁地改变符号，见图一，则这是误差项序列正自相关的证据；如果残差随着观测顺序的变化频繁地改变符号，则这是误差项序列负自相关的证据，见图二。

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笔记：

1、与上述图形检验思路一样但更正规的一种检验方式是游程检验（runstest）。首先记录残差的符号，例如：(++++++++++)(--)(+++++++)(-)(++++++)。所谓游程是指具有同一符号的一个不间断历程。在此例中，具有5个游程。直观来看，如果游程太多，这意味着残差频繁地改变符号，而这是负自相关的证据；反之，如果游程太少，则是正自相关的证据。我们是用残差来近似作为误差的观测值。给定观测值的个数，利用SwedEisenhart所给出的一定显著水平下关于游程数的两个临界值，我们可以检验误差是独立的这个原假设。具体详情可参见相关教科书。

2、在图一中，残差大约在三个位置改变了符号，你也许会问，这不是违背了正序列相关的判断吗？记住！我们发现的正序列相关是统计规律，而统计规律是大部分观测所具有的规律。

（二）Durbin-Watson检验

图示法仅仅是非正式的检验方法。接下来我们介绍著名的DW检验。该法用来检验误差

项是否存在一阶自相关。首先利用OLS残差构造检验统计量：

tt一1t2

就是残差的（样本）一阶自相关系数，当然其前提是：（1）残差均值为零，

这意味着初始模型必须带有截距；（2）残差序列是同方差的，这进一步意味着初始模型中的

误差项必须是同方差的。直观来看，它就是对误差项一