两类循环群的本质区别及各自的同构象.pptVIP

本学期共计上课时间17周(每周一,3学时),国庆10.4放假1次,期中考试1次11.15，课外上习题课3次，正式课内课时15次.Inourclasses,allthemobilephonesshouldbeswitchedoff!上课啦！Theclassisbegin!循环群课时安排约2课时教学内容循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果（i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成元；循环群的阶与生成元的阶的关系；两类循环群的本质区别及各自的同构象；循环群中元素之间的联系和性质；0102研究一个对象可粗略地分为两种方法：一种方法是研究此对象的内部关系，另一种是把此对象放在其它对象的相互联系中去研究。当我们对一个群“孤立地”去研究时，掌握这个群的一个好的生成元（生成元集）常是非常有帮助的，循环群就是由一个生成元生成的一种特殊的群。循环群是所有群中最简单的一种群。它的结构到目前为止是可以完全刻划清楚的。本讲中，我们要了解这类群的特点，从本质上领会“循环群已经完全弄清楚了”的含义。先看下面的例子.一、循环群例1整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个词）。事实上，是的零倍：；正数是的的倍：，负数是的倍:。上述两例都表明了同一个问题：群中有一个特殊的元素，使群中每个元素都是这个特殊元素的倍数。（因为是加法群，所以用倍数.如果是乘法群，则应是方幂）。于是，下面有了循环群的定义（下面通常用乘法群为例）。循环群的概念设是一个(乘法)群,而中有一个元素，使中每个元素都的乘方.即.那么称为循环群.叫做的生成元，习惯上记为.也就是说，是由生成元生成的。我们仔细观察下面两对群，它们元素之间存在着对应关系：循环群的个数A定理2设是由生成元生成的循环群。如果，那么.如果，那么。B证明(1)当时，作.由上述的对应关系易知,是双射.而C当时，作,，由上述对应关系也易知,是双射.而且D.即.E注意用代数同构观点，循环群只有两个：一个是整数加群；一个是模的剩余类加群。当时，自然是的生成元，但除了外,其实也是的生成元。即无限循环群中只有两个不同的生成元和。证明因为无限循环群的生成元3．循环群的生成元还有其它生成元吗？.思考1除和之外，解没有。否则，如果也是一个生成元，于是必有思考2求整数加群Z的所有生成元和元素的阶。解有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元,且在Z中除零元外,每个元的阶都是无限的。01020304050601有限循环群的生成元02当时，有是的生成元。证明若是的生成元，则，而，所以；反之，若，而，，即有，但由知，不同的恰有n个，所以。思考3当.除了自然是的生成元之外，还有其余生成元吗？解为了讨论的方便，现假设.这时，，可以验证也是的生成元:.这说明也能生成，即:.最后可断言：上例中的生成元只有和。那么为什么说，只有和是阶循环群的生成元呢？因为，同时例中也验证了.这就是说，中也含有个元素.与的一样多..也是生成元，而其他元素的阶都不是，所以它们都不能成为生成元。123456本学期共计上课时间17周(每周一,3学时),国庆10.4放假1次,期中考试1次11.15，课外上习题课3次，正式课内课时15次.*